级数与交错p-级数的和.ppt

p-级数与交错 p-级数的和 1,p-级数与交错 p-级数的和,蜀南竹海 2012.5.1,p-级数与交错 p-级数的和 2,提 要 当 p1时 p-级数收敛，相应的交错 p-级数绝对收敛。 那么它们的和之间有什么关系？ 能否由 p-级数的和推导出相应的交错 p-级数的和？ 本课件给出相应的结果，并举例说明。 所有例子都用数学软件Maple给予了验证。,p-级数与交错 p-级数的和 3,先看一个简单的例子,p-级数与交错 p-级数的和 4,p-级数与交错 p-级数的和 5,p:=2: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=sum(g(n),n=1infinity);,Maple check,p-级数与交错 p-级数的和 6,用同样的方法可以解一下问题：,p-级数与交错 p-级数的和 7,以下我们给出一般的结论,p-级数与交错 p-级数的和 8,p-级数与交错 p-级数的和 9,p-级数与交错 p-级数的和 10,注1 当 p1 是偶数时，p-级数的和有精确表达式 （设 p=2m 是偶数）：,其中B2m是伯努利数（见：Bernoulli number）,见维基百科：Riemann zeta function,p-级数与交错 p-级数的和 11,p:=2: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=sum(g(n),n=1infinity);,Maple check:,p-级数与交错 p-级数的和 12,p:=4: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=sum(g(n),n=1infinity);,Maple check:,p-级数与交错 p-级数的和 13,p:=8: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=sum(g(n),n=1infinity);,Maple check:,p-级数与交错 p-级数的和 14,注2 当 p1 不是偶数时，p-级数的和没有精确表达式，只能用zeta函数表示为(p) 或用近似值表示。,p-级数与交错 p-级数的和 15,p:=3: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=sum(g(n),n=1infinity);,Maple check （ zeta函数形式）:,p-级数与交错 p-级数的和 16,Maple check (小数形式):,p:=3: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=evalf(sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=evalf(sum(g(n),n=1infinity);,p-级数与交错 p-级数的和 17,p:=11: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=sum(g(n),n=1infinity);,Maple check （ zeta函数形式）:,p-级数与交错 p-级数的和 18,Maple check (小数形式):,p:=11: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=evalf(sum(f(n),n=1infinity); (2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=evalf(sum(g(n),n=1infinity);,p-级数与交错 p-级数的和 19,Maple check:,p:=11/7: f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n),n=1infinity)=evalf(sum(f(n),n=1infinity); evalf(2(p-1)-1)/2(p-1)*%; Sum(g(n),n=1infinity)=evalf(sum(g(n),n=1infinity);,p-级数与交错 p-级数的和 20,Maple check:,p:=sqrt(2): f(n):=1/np:g(n):=(-1)(n-1)*1/np: Sum(f(n