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1.4 最大公因式,一、定义,定义1 设 若 满足,(1) 即 是 与,的一个公因式；,(2) 若 且 ，则,则称 为 的一个最大公因式,例1 求 与 的最大公因式,是 与 的,一个最大公因式。,(2) 与 的最大公因式?,任意非零常数d都是 与 的一个最大公因式。,(3) 与0的最大公因式？,是 与 的一个最大公因式。,特别地，0是0与0的最大公因式。,注：,设 是 与 的最大公因式，,存在 ，使得,根据定义有 且 .因此，,最大公因式在相伴意义下是唯一的。,最大公因式不是唯一的。,与 的首项系数为1的最大公因式,是唯一确定的，记作,二、最大公因式的存在性及表示法,引理1 若等式 成立，,则 与 有相同的公因式；,与 有相同最大公因式，,因此，,定理1 对任意 则在,中存在 与 的一个最大公因式,且 可表成 的一个组合，即,存在 使得,若 有一为0，如 ，则,考虑一般情形：,用 除 得：,其中 或 .,若 ，用 除 ，得：,证：,就是 的一个最大公因式且,其中 或 ,若 ，用 除 ，得,如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低，,因此，有限次后，必然有余式为0设,即,于是我们有一串等式,从而有,再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去,再并项就得到,说明:, 定理1中用来求最大公因式的方法，通常称为,辗转相除法,辗转相除法：对 作辗转相除时，最,后一个不等0的余式是 的一个最大,公因式。, 定理1中最大公因式,中的 不唯一。, 设 若满足,则 未必是 的最大公因式。,如： 但0不是 的最大公因式。,命题1 是 的最大公因式,使得,例2,求 ，并求 使,解:,且由,得,最大公因式与数域扩大的关系,命题2 最大公因式与数域扩大无关。,即，设 是数域且,则 在 中的首1最大公因式与,在 中的首1最大公因式一致。,原因：辗转相除法的本质是带余除法，而带余除法与数域扩大无关。,三、互素,1、定义,定义2 若 则称 是,互素的。,互素,除去零次多项式外无,说明:,由定义，,其它公因式,2、互素的判定与性质,定理2 设 则 互素,存在 使得,定理3 若 且 则,四、多个多项式的最大公因式,若 满足:,定义3 设,i),则称 为 的一个,ii),若,则,最大公因式,注：,表示首1最大公因式, ，使,的最大公因式一定存在, 互素 使,附:,最小公倍式,设 ，若,
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