阶常系数线性微分方程-1.ppt

8.5 二阶常系数线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,考虑到当y、 y、 y为同类函数时 有可能使ypyqy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解,分析,下页,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,一、二阶常系数齐次线性微分方程,方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程及其根,特征方程的求根公式为,下页,二阶常系数齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,一、二阶常系数齐次线性微分方程,特征方程的根与通解的关系,有两个不相等的实根 r1、r2,简要证明:,下页,这是因为,有两个不相等的实根 r1、r2,有两个相等的实根 r1r2,下页,特征方程的根与通解的关系,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,简要证明:,这是因为,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),下页,特征方程的根与通解的关系,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,有两个相等的实根 r1r2,简要证明:,故excosx和exsinx也是方程的解,因为函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解,而,函数excosx与exsinx的比值为cotx 不是常数 故excosx和exsinx是方程的线性无关解,x,r,x,r,xe,C,e,C,y,1,1,2,1,+,=,第一步 写出微分方程的特征方程 r2+pr+q=0 第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.,求y+py+qy=0的通解的步骤:,下页,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,有两个相等的实根 r1r2,x,r,x,r,xe,C,e,C,y,1,1,2,1,+,=,下页,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,有两个相等的实根 r1r2,x,r,x,r,xe,C,e,C,y,1,1,2,1,+,=,因此微分方程的通解为yC1exC2e3x,例1 求微分方程y2y3y0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r30,特征方程有两个不相等的实根r11 r23,即(r1)(r3)0,下页,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,有两个相等的实根 r1r2,x,r,x,r,xe,C,e,C,y,1,1,2,1,+,=,特征方程有两个相等的实根r1r21,例2 求方程y2yy0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r10,即(r1)20,因此微分方程的通解为yC1ex C2xex,即y(C1C2x)ex,下页,通解形式,r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x),例 3 求微分方程y2y5y 0的通解,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,x,r,x,r,e,C,e,C,y,2,1,2,1,+,=,有两个相等的实根 r1r2,x,r,x,r,xe,C,e,C,y,1,1,2,1,+,=,解,微分方程的特征方程为,例4,解,特征方程为,特征根为,故所求通解为,n阶常系数齐次线性微分方程,下页,方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数,引入微分算子D及微分算子的n次多项式 L(D)Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn,注 D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n),则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0,下页,n阶常系数齐次线性微分方程,方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数,引入微分算子D 则上述微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0,因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解,分析,令yerx 则,L(D)yL(D)erx,(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erx,L(r)erx,L(r)0称为微分方程L(D)y0的特征方程,下页,n阶常系数齐次线性微分方程,方程 y(n)p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数,特征方程的根与通解中项的对应,引入微分算子D 则上述微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0,ex(C1C2x Ck xk1)cosx(D1D2x Dkxk1)sinx,单实根r对应于一项,一对单复根r1 2i 对应于两项,k重实根r对应于k项,一对k重复根r1 2i 对应于2k项,erx(C1C2x Ckxk1),ex(C1cosxC2sinx),Cerx ,结束,例4 求方程y(4)2y5y0 的通解,解,微分方程的特征方程为,r42r35r20,即r2(r22r5)0,它的根是r1r20和r3 412i,因此微分方程的通解为,yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x),例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0,解,微分方程的特征方程为,r4 40,其根为,因此微分方程的通解为,.,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,1、 f(x)Pm(x)ex型,2、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,1、 f(x)Pm(x)ex 型,提示,此时2pq0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,1、 f(x)Pm(x)ex 型,提示,此时2pq0 但2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)xQm(x) 其中Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm,(2)如果是特征方程r2prq0的单根, 则,y*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,1、 f(x)Pm(x)ex 型,提示:,此时2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) 其中Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm,(3)如果是特征方程r2prq0的重根, 则,y*x2Qm(x)ex,(2)如果是特征方程r2prq0的单根, 则,y*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (),则得,1、 f(x)Pm(x)ex 型,结论,二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyPm(x)ex 有形如 y*xkQm(x)ex 的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,(3)如果是特征方程r2prq0的重根, 则,y*x2Qm(x)ex,(2)如果是特征方程r2prq0的单根, 则,y*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,即,1、 f(x)Pm(x)ex 型,提示,因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得,例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,b0xb12b0xb13b0xb1,3b0x2b03b1,2b03b0x3b1,3b0x2b03b13x1,提示,3b03 2b03b11,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,提示,齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x ,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得,2b0x2b0b1x,提示,2b01 2b0b10,例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60,其根为r12 r23,2b0x2b0b1x,因此所给方程的通解为,因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得,二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx 有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,结论,解,