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第二章 一阶微分方程的初等解法,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,分离变量 积分(转化为积分的形式) 讨论解的完整性（如分母为零的解） 写出通解,变量分离方程的解题步骤,分离变量( )得,方程的通解为,解：,积分得,而经检验y=0也是原方程的解。,例5 求解方程 ， 并求满足初始条件: 当 时， 的特解.,解题步骤：分离、积分、写出通解和求特解。,若 ,则所求初值解为,若 , 则所求初值问题的解为,2.1.2、可化为变量分离方程的类型,引言：有的微分方程从表面上看，不是可分离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替换，就可以很容易地化为“变量分离方程”，在这里，介绍两类这样的方程。,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.,解的步骤:,解:,解方程组,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,解:,代入方程并整理得,即,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,三、应用举例,例9、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体
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