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第三节 一阶线性微分方程,一、基本内容 二、小结,一、基本内容,定义 方程,如,称为一阶线性微分方程。,当 Q(x) = 0 时上式称为齐次的；,当 Q(x) 0 时上式称为非齐次的。,齐次微分方程,非齐次微分方程,一阶线性微分方程的解法：,1. 一阶线性齐次微分方程,分离变量,两边积分,得,一阶线性齐次微分方程的通解为,2. 一阶线性非齐次微分方程,先求出对应齐次方程,再令 C = C(x)，即,代入原方程得,即,解法：常数变易法,的通解：,为原方程的解，,对应齐次方程通解,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,非齐次方程特解,一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和。,例1 求微分方程的通解：,解 将方程两边同除以 x 得,即,，由公式得,即原方程通解为,例2 求方程的特解：,解 将方程两边同除以 x 得,即,，由公式得,所求原方程特解为,由 x = 1 时 y = 1 得 C = 1，于是,三、小结,1. 一阶线性齐次微分方程,2. 一阶线性非齐次微分方程,的通解为,的通解为,常数变易法,
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