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第四节 一阶线性微分方程,教学内容 1 一阶线性方程的定义 2 一阶线性方程的解法 教学重点 一阶线性方程的解法 本节考研要求 掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利方程,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),2. 线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,即非齐次线性方程,用常数变易法（因变量代换）：,为非齐次线性方程的解,解,例1,两边求导, 得,解,解此微分方程：,*例4 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲线y=f (x) 与 y=x3 截下的线段PQ 之长等于阴影部分的面积, 求曲线 y=f (x) .,解此微分方程：,所求曲线为,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,求出通解后，将 代入即得,代入上式,解,例 3,例4 解微分方程,解,所求通解为,求解微分方程的基本方法：,解,原方程化为,原方程的通解为,利用变量代换将所求微分方程化为会解的微分方程。,*例7 解微分方程,解,由分离变量法得,得所求通解为,三、小结
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