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第3章,3.4 函数的单调性与曲线的 凹凸性,燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪,1. 函数单调性的判定法,若,定理 1 设函数,则 在 I 内单调递增,(递减) .,证 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 I 内可导,证毕,三、函数的单调性与凹凸性,说明:,2) 导数不存在的点也可能是函数单调区间的分界点.,例如,1) 驻点是函数单调区间可能的分界点.,例如,x=0是函数单调区间的分界点.,而,x=0不是函数单调区间的分界点.,例1 确定函数,的单调区间.,解,令,得,故,的单调增区间为,的单调减区间为,例2,令,则,单调减少,从而,即,利用单调性证明当,时,证明,注意:,为极大点,为极小点,不是极值点,1) 函数的极值是函数的局部性质.,3) 函数的最值是函数的全局性质.,2) 对常见函数, 极值可能出现在驻点或导数 不存在的点.,2. 函数极值的判定法,由费马引理可知可导函数的极值点一定是驻点.,定理 1 (取得极值的充分条件),且在空心邻域,内有导数,(证明略),例如,而,容易验证x=0是,的极小,值点.,x=0不是,的极值点.,例3 求函数,的极值 .,解,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大值点，,极大值为,是极小值点，,极小值为,定义,3. 曲线的凹凸与拐点,称曲线弧,是凹,凸弧的分界点,都有切线，且切点,这时也称曲线弧,为凹弧,称为拐点,定理2 (凹凸判定法),(1) 在 I 内,则 在 I 内图形是凹的 ;,(2) 在 I 内,则 在 I 内图形是凸的 .,设函数,在区间I 上有,的,若其上每一点,附近曲线总在切线的上方,相应的函数,称为凹,二阶导数, 则,（或凸）,（或下方）,（或凸弧）,函数.,（或凸）,连续曲线上凹弧与,例4 判断曲线,的凹凸性.,解,故曲线,在,上是凹的.,说明:,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法,若曲线,或不存在,的一个拐点.,号, 则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变,如下:,例5 求曲线,的拐点.,解,不存在,因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线,的拐点 .,凹,凸,例6 求曲线,的凹凸区间及拐点.,解,1) 求,2) 求拐点可疑点坐标,令,得,对应,3) 列表判别,故该曲线在,及,上是凹的,是凸的 ,点 ( 0 , 1 ) 及,均为拐点.,凹,凹,凸,内容小结,1. 可导函数单调性判别,在 I 上单调递增,在 I 上单调递减,3. 曲线凹凸与拐点的判别,拐点, 连续曲线上有切线的凹凸分界点,2. 连续函数的极值,导数为0 或不存在的点是可能的极值点,取得极值的充分条件,过,由正变负,
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