函数极限连续.pps

第一章 函数 极限 连续 (习题课),习题1-1，3.下列各题中,函数f (x)和g(x)是否相同？ 为什么？,解：(1)不相同.定义域不同.D(f)=R*,D(g)=R+ (2)不相同.对应规则不同.,题组一：函数（定义域、对应规则 、复合、反函数）,1.,分段函数、初等函数,(3)相同：定义域都是R，对应规则相同。,习题1-1 17.设函数f (x)在数集X上有定义.试证:函数f (x)在上有界的充分必要条件是它在上既有上界又有下界。 证明：（必要性）设函数f (x)在上有界,即存在M0 使 |f (x)|M(xX) 从而 -Mf (x) M (xX) 即f (x)在上既有上界又有下界. (充分性）设f (x)在上既有上界又有下界，即存在 常数K1和2，使,1f(x) K2,习题1-28(3)求,解:原函数定义域R,值域(0,1).,3. 设,求,与,解:,或,接4.,解:,4. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,题组二：求极限问题方法总结,先进行初等变换!,2.牢记常见无穷小的例子.,判断极限不存在的方法： (1)无穷大：M-(X)语言；利用无穷大与无穷小互倒关系 (2)归结原则:取两个子列极限不等;一个子列极限不存在,1.对于数列xn,若,(习题1-3:6),证:,则,K2,所以,2.由定义证明,证:,由于,所以,习题1-3-3(4)用定义证明,证明:,欲使,只要,3. 设,且,求,解:,先证明数列的极限存在.,有下界.,存在.,接1.,再求数列的极限值.,设,则,得,解得,即,4. 求,解: 令,则,利用夹逼准则可知,型,习题1-7-4(3)利用极限存在准则证明:数列,证明:首先,用数学归纳法证此数列有上界.x12. 设xk2,则,其次用数学归纳法证明此数列单调递增显然,设 xk-1xk,则,5. 设,且,证明:,解:,由,取,使,(nN),6. 求,解:,原式 =,7. 求,解:,原式 =,有界量,无穷小量,“-”型,8. 求,解:,原式 =,9. 求,解:,原式 =,10. 求,解:,原式 =,(1),(2),(1) 式 =,接8.,() 式 =,因此,原式 =,11. 求,解:,原式 =,12. 已知,求常数 a , b .,解:,因为,所以,故,接10.,将,代入原极限得,所以,因此,13. 已知,存在,求常数 a 及其,极限值.,解:,因为,所以,即,这样,14. 求,解:,原式 = 1,(2000考研),题组三：连续（连续与间断、局部性质与整体性质）,1.连续函数的三个等价定义.,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,3.连续函数的四则运算与初等函数的连续性,4.闭区间上连续函数的性质:有界性,最值定理,介值定理,题组三：连续（连续与间断、局部性质与整体性质）,1. 讨论函数的连续性,若有间断点判断其类型.,(1),解:,间断点为：,其中,为可去间断点,为无穷间断点.,初等函数,(2),解:,间断点为：,其中,所以,是第一类间断点,是第二类间断点.,(3),解:,因为,所以,为跳跃间断点.,x=1是连续点,(4),解:,显然,为第二类间断点.,2. 设,试确定常数 a , b ,使,在,处连续.,解:,要使,在,处连续,需有,即,故,习题1-9-4.证明:若函数f (x)在点x0连续且f (x0) 0, 则存在x0的某一个邻域U(x0),当xU(x0)时，f (x) 0. 证明：不妨设f (x0)0.由于函数f (x)在点x0连续， 所以，对于,3. 试证:方程,在,内至少有一实根.,解:,设,则它在,上连续.,又知,由零点定理知,至少存在一点,使,而,因此方程在,内至少有一实根.,4. 设,在,上连续,证明:,至少存在一点,使,解:,设,因,在,上连续,故,在,上连续,因此,在,上连续 .,而,当,时,接5.,若,则,取,即可.,若,则,取,即可.,当,时,由零点定理,存在,使,即,5. 设函数,在,内非负连续,且,证明:在,内必有,使,解:,不妨假设,因为,在,内非负且连续 ,所以,在,内非负且连续 .,由闭区间上连续函数的最值定理得:,在该区间上一定存在最大值 M 和最小值 m .,记,于是有,所以,由介值定理知,一定存在,使,习题1-11-3.设f (x)在a,b上连续，ax1x2xnb, 则在