线性代数复习大纲.ppt

1,一、 阶行列式 1、 阶行列式定义， 阶排列的逆序数，展开式的项数及判断某一项的符号，行列式性质及推论。 2、 阶行列式元素 的代数余子式 的概念及计算。 行列式按一行展开定理及推论。 展开定理。 3、行列式计算（利用性质、按一行展开定理、 展开、利用已知行列式值，并含计算分块矩阵及一些特殊方阵的行列式）。,线性代数 复习提纲,2,二、 维向量 1、向量定义及其运算。（向量的线性运算即加法和数乘、向量的内积的定义和运算规律） 2、向量组的线性组合。一组（或一个）向量可由另一组向量线性表出、两组向量等价。定义和判定定理及有关结论。 3、向量组的线性相关性（定义、判定向量组线性相关或线性无关，及相关的定理和推论）。 4、向量组的秩及极大线性无关组。（定义、相关结论、求秩及极大线性无关组） 5、标准正交向量组（正交向量组必是线性无关的）及施密特标准正交化（这是将一组线性无关的向量化为标准正交向量组的有效方法）。 6*、 维向量空间 ：定义、维数、一组基、 中向量在一组基下的坐标。,线性代数 复习提纲,3,三、线性方程组（下述矩阵 为 矩阵） 1、线性方程组有解的判定： 1）齐次线性方程组 有非零解 2）线性方程组 有解 2、线性方程组解的性质：三条,线性代数 复习提纲,4,3、线性方程组解的结构 1） 中 时，基础解系 通解： 2）非齐次方程组 ， 当 时， 为方程组一个特解， 为其导出组的一个基础解系，则通解为,线性代数 复习提纲,5,4、线性方程组具体求解方法 1）讨论非齐次线性方程组 解的存在性。 将增广矩阵 经过行初等变换化阶梯形，从而可得知 与 ，当且仅当 时 有解。 2）齐次线性方程组 求通解的方法： （1） 阶梯形，求出一般解。 （2）求基础解系，并写出通解,线性代数 复习提纲,6,3）非齐次线性方程组 求通解的方法： （1） 阶梯形，求出一般解。 （2）求出一个特解。 （3）写出导出组的一般解，并求导出组的一个基础解系。 （4）写出通解。,线性代数 复习提纲,7,四、矩阵 1、矩阵运算及其运算法则：加法、数乘、乘法（没有交换率、没有消去率、由 得不出 或 ）、转置、 求逆。 2、 阶矩阵 的伴随矩阵 （定义）。 性质：1） 2） 3） 4） 5） 为 阶矩阵：,线性代数 复习提纲,8,3、可逆矩阵： 1）矩阵 可逆的定义 2） 可逆，求 的方法： 3）矩阵 可逆的充分必要条件 4）化简及求解矩阵方程,线性代数 复习提纲,9,4、矩阵的秩： 1）定义，由定义知 2）矩阵的秩等于它行（列）向量组的秩。 3）矩阵的秩的求法：矩阵经初等变换化阶梯形。 4） 为 矩阵， 为 矩阵，且 ， 则 。 5）矩阵运算后秩的变化：数乘、转置、求逆、加法、乘法。 5、方阵运算后的行列式关系： 均为 阶方阵， 。,线性代数 复习提纲,10,6、矩阵的初等变换。 1）矩阵的行（列）三种初等变换。 2）矩阵经初等变换，秩不变。 3）初等矩阵。 （1）定义。 （2）初等矩阵在将矩阵作初等变换转化为矩阵乘法的等式时的特殊作用。 7、矩阵的分块运算： 矩阵与向量组的转化，矩阵方程和线性方程间的转化。,线性代数 复习提纲,11,8、特殊矩阵（定义及性质）： 零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵。 9、两矩阵间的关系： 1） 阶矩阵 与 相似：定义（ ）、性质。 2） 阶矩阵 与 互为可逆矩阵。（ ） 3） 阶矩阵 与 合同：定义（可逆矩阵 使 ）,线性代数 复习提纲,12,10、求 阶矩阵 的 ： 1）若存在可逆矩阵 ，使 则 2） 则,线性代数 复习提纲,13,五、矩阵的对角标准形 1、 阶矩阵 特征值与特征向量。 1）定义，及按定义求方阵 的特征值与特征向量的方法。 2）相关结论,线性代数 复习提纲,14,3）属于 的不同特征值的特征向量线性无关。,线性代数 复习提纲,15,2、 阶方阵 能够与对角形矩阵相似的充要条件为 有 个 线性无关的特征向量。（若能，求可逆矩阵 ，使 为 的对角标准形。） 判断 与对角形矩阵相似的方法： 1）若 的特征值均为单根，则 与对角形矩阵相似。 2）若 的特征值有重根，且 则 与对角形矩阵相似。 与对角形矩阵相似，那么 的 重根 对应的线性 无关的特征向量个数,线性代数 复习提纲,16,3、实对称矩阵的标准形。 实对称矩阵特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交。 对于 阶实对称矩阵 ，存在正交矩阵 使 即实对称矩阵必正交相似（或称相似且合同）于实对角矩阵。,线性代数 复习提纲,17,六、二次型 1、二次型定义及其相关概念：二次型的（系数）矩阵，矩阵表达式，二次型的秩，二次型的标准型、规范型，正惯性指数。 2、可逆线性变换 （ 为实可逆矩阵）。 二次型经可逆线性变换 ，得新的二次型的矩阵 与原二次型矩阵 合同，即有,线性代数 复习提纲,18,3、二次型化标准形 1）用正交变换