线性代数相似矩阵与二次型第1节特征值.ppt

5.1 特征值与特征向量,一. 定义,第五章 相似矩阵与二次型,5.1 特征值与特征向量,A = ,n阶方阵,非零向量,特征值(eigenvalue),特征向量(eigenvector),第五章 相似矩阵与二次型,5.1 特征值与特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程 (characteristic equation),特征多项式 (characteristic polynomial),EA,特征矩阵,特征值,特征向量,定义（特征子空间）,二. 计算,第五章 相似矩阵与二次型, 5.1特征值与特征向量,定理1. (1) 0为A的特征值 |0EA| = 0.,(2) 为A的对应于0特征向量, (0EA) = 0.,1. 理论依据,2. 步骤,计算|EA|,求|EA| = 0的根,求(EA)x = 0的基础解系,例1. 求A =,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2, 2=4.,解之得,A的对应于1=2的特征向量为,对于1=2, (2EA)x = 0 即,3 1 1 3,= (2)(4).,(0 k R).,第五章 相似矩阵与二次型, 5.1特征值与特征向量,例1. 求A =,的特征值和特征向量.,解:,所以A的特征值为1=2, 2=4.,解之得,A的对应于2=4的特征向量为,对于2=4, (4EA)x = 0 即,3 1 1 3,= (2)(4).,(0 k R).,第五章 相似矩阵与二次型, 5.1特征值与特征向量,解: |EA| = (2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2EA)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为kp1 (0kR). 对于2=3=1, 求得(EA)x = 0 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为kp2 (0kR).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第五章 相似矩阵与二次型, 5.1特征值与特征向量,解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为kp1 (0kR). (2EA)x = 0的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).,例3. 求,的特征值和特征向量.,第五章 相似矩阵与二次型, 5.1特征值与特征向量,三、特征值与特征向量的性质,定理2：,理解：可将行列式拆成 行列式之和来看！,推论：n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值全不为零。,定理3：,推论：,例5：,定理4：,定理5：,注：本定理的含义是A所有不同的特征值对应的线性无关 的特征向量合起来还是线性无关的。,例. 设1, 2, , m为方阵A的m个不同的特征值, p1, p2, , pm为依次对应于这些特征值的特 征向量, 证明p1, p2, , pm线性无关.,证明: 若k1p1 +k2p2 +kmpm = 0, 则,由此可得(k1p1, k2p2, , kmpm) = O.,(k1p1, k2p2, , kmpm),= O.,因而k1 = k2 = = km = 0.,这就证明了p1, p2, , pm是线性无关的.,例7 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特征向量依次 为p1和p2 证明p1 p2不是A的特征向量,用反证法 假设p1p2是A的特征向量 则应存在数 使 A(p1p2)(p1p2) 于是,证明,按题设 有Ap11p1 Ap22p2 故,A(p1p2)1p12p2,即(1)p1(2)p20,(p1p2)1p12p2,因此p1p2不是A的特征向量,与题设矛盾,即12,120,故由上式得,按定理4知p1 p2线性无关,因为12,例8 设3阶矩阵A的特征值为1 1 2 求|A*3A2E|,因为A的特征值全不为0 知A可逆 故A*|A|A1 而|A|1232 所以,解,2A13A2E,A*3A2