线性代数课件5-3相似矩阵与方阵对角化.ppt

只需寻找,3 对称方阵对角化和二次型化标准形,使二次型,转换为标准形,正交变换,要判断曲线、曲面形状,只需将曲线、曲面方程转化为标准方程,只需寻找,本章中心,本章结构：,二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型,本节重点：,(1)求正交相似变换阵将实对称矩阵化为对角阵；,(2)求正交变换将二次型化为标准形。,复习,n 阶矩阵 A 可对角化,A有n 个线性无关的特征向量.,求n阶特征值和特征向量的方法：,1.,求特征多项式,就是n阶矩阵A的特征值；,2.,求特征方程,的根,的非零解，,3.,求解齐次线性方程组,就是n阶矩阵A的特征向量.,一、对称矩阵一定能对角化,引理1 对称矩阵的特征值为实数.,引理2 对称矩阵的不同特征值的,特征向量正交.,推 论: 对称矩阵的特征向量都是实向量.,r 重根，则,特征向量.,r,个线性无关的,恰有,引理3 设A 为n 阶对称矩阵,的特征方程,从而特征值,分析：,（1）设对称阵A有m个不同特征值,它们的重数依次为,（2）相应于,恰有,个线性无关的特征向量,（3）,为可逆阵，且有,得知对称方阵A一定可以对角化,其中,定理1 设A 为n 阶对称矩阵,则必有正交矩阵Q,使,对称方阵A一定可以对角化，而且相似变换 阵不唯一.,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化,步骤：,（1）设对称阵A有m个不同特征值,它们的重数依次为,（2）相应于,恰有,个线性无关的特征向量,，把它们正交单位化得，,（3）,为正交阵，且有,例1 求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,解：,（1）A的特征多项式为,故A的特征值为,（2）相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,例1 求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,例1 求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,例1 求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,（3）正交相似变换矩阵取为,例2 求一正交相似变换阵,将对称矩阵,对角化。,解：,（1）A的特征多项式为,故A的特征值为,（2）相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,将对称矩阵,对角化。,例2 求一正交相似变换阵,相应于,无关的特征向量有两个，满足,的特征向量满足,将对称矩阵,对角化。,例2 求一正交相似变换阵,满足,且正交的特征向量,可取为,单位化得,将对称矩阵,对角化。,例2 求一正交相似变换阵,（3）正交矩阵为,三、正交变换化二次型为标准形,总有正交变换 x = Py，使 f 化为标准形,定理2,例3 求一个正交变换 x = Py，把二次型,化为标准形.,解,二次型的矩阵为,正交相似变换矩阵取为,所做正交变换为x=Qy，即,标准形为：,（1）判断二次曲线,的形状；,（2）判断二次曲面,的形状。,下面解决本章第一次课所提的问题：,（1）判断二次曲线,的形状.,解：,令,其矩阵为,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,正交矩阵为,所做正交变换为,二次型的标准形为：,二次曲线的标准方程为：,该曲线为双曲线.,（2）判断二次曲面,的形状.,解：,其矩阵为,A的特征多项式为,故A的特征值为,相应于,无关的特征向量只有一个，可取为,的特征向量满足,相应于,无关的特征向量有两个，满足,的特征向量满足,满足,且正交的特征向量,可取为,单位化得,正交矩阵为,所做正交变换为,二次型的标准形为,二次曲面的标准方程为,二次曲面的形状为,旋转双曲面,三、Lgrange配方法化二次型为标准形,下面介绍一种行之有效的方法 拉格朗日配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点 是保持几何形状不变,问题：有没有其它方法，也可以把二次 型化为标准形？（不要求形状不变）,拉格朗日配方法的步骤：,1. 若二次型含有,的平方项，则先把含有,的乘积项集中，然后配方，,进行，,直到都配成平方项为止，,再对其余的变量同样,就得到标准形;,经过可逆性变换，,2. 若二次型中不含有平方项，但是,含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.,化二次型为,则先作可逆线性变换,例4,所做可逆变换为,而我们曾用正交变换,化标准形为：,比较,例5,做可逆变换,不含平方项,再做可逆变换,，得标准型为,我们曾在正交变换之下化标准型为,.,比较,注：,二次型的标准形不唯一，但它们具有共性：,(1)所含平方项个数相同，都等于矩阵A的秩；,(