刚体的定轴转动3.ppt

第三章 刚体的定轴转动,3-0 第三章教学基本要求,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,第三章 刚体的定轴转动,教学基本要求,一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念.,二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念 (72学时不要求用积分计算转动惯量) .,三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系.,四、理解刚体定轴转动定律.,五、理解角动量的概念, 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律.,七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题.,六、会计算力矩的功 (72学时只限于恒定力矩的功) 、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量.,八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.,3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律,预习要点 注意描述刚体定轴转动的运动学方法. 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算? 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算方法. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意它的应用方法.,一、刚体及刚体定轴转动,刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）.,刚体的运动形式：平动、转动 .,平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动.,转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面.,二、描述刚体定轴转动的物理量,角位移,角坐标,角速度,角加速度,定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转向的 取正，顺时针取负.,三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功,刚体绕Oz轴旋转, O为轴与转动平面的交点，力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的位矢.,对转轴z的力矩,1. 力矩,力矩为矢量，一般取逆时针为正，顺时针为负,d:(力臂：力的作用线与转轴之间的垂直距离),力矩从 到 做的功,2. 力矩作功,四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量,1. 转动动能,刚体内部质量为 的质量元的速度为,动能为,刚体定轴转动的总能量（转动动能）,定义转动惯量,相当于描写转动惯性的物理量.,2. 转动惯量,单位：kg m2（千克米2）.,刚体定轴转动动能计算式：,对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为r，则转动惯量,设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO 为 处的质量元,求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量.,如转轴过端点垂直于棒,刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布和转轴的位置有关.,3. 转动惯量的计算举例,五、刚体定轴转动的动能定理,刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，所以质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化.,由质点组动能定理,合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量.,得刚体定轴转动的动能定理,2. 刚体的定轴转动的动能应用 计算.,1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系.,六、刚体定轴转动的转动定律,由动能定理：,取微分形式：,两边除dt,由于,故得,刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.,由刚体定轴转动定律 可知，若M为恒力矩，则角加速度为恒定值，刚体作匀变速定轴转动运动。相应运动计算方程可仿照匀变速直线运动公式推导得出：,刚体匀变速定轴转动公式,均匀细棒OA可绕其一端O而与棒垂直的水平固定轴转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下列说法哪一个正确？ (A) 角速度由小到大，角加速度由大到小 （B）角速度由小到大，角加速度由小到大 （C）角速度由大到小，角加速度由大到小 （D）角速度由大到小，角加速度由小到大,O,A,1、一个能绕固定轴转动的轮子，除受到恒定摩擦力矩MR外，还受到恒定力矩M 的作用，若M=20N*m,轮子对固定轴的转动惯量为J=15kg*m2，在t=10s内，轮子的角速度由0增大到10rad/s，则MR=？ 2、转动惯量为J=200千克二次方秒的飞轮，在外力矩和轴承摩擦力矩作用下匀速转动，转速为n=180转每分。当外力矩停止作用后，经过t=120秒后飞轮停止转动。设轴承摩擦力矩不变，求摩擦力矩大小。,七、牛顿定律和转动定律的综合应用,如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. 但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. 把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解.,例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力.,受力图如下，,设,解:,得解,1、一个滑轮，质量为m，半径为r，转轴在水平位置且没有摩擦力，混沦上绕有细绳，若用10千克力拉细绳或在绳上吊一个10千克的重物，滑轮就会转动起来，分析两种情况下，（1）、滑轮的角速度是否相同?（2）、绳中的张力是否相同？,1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和.,例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角为 . 设杆的质量为 、杆长为 l，小球的质量为 .,1）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩.,解:,2）系统的转动动能为：,3）系统所受重力有杆的重力和小球的重力.,则系统所受重力对轴的力矩的大小为：,3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律,预习要点 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动量矩如何计算? 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的? 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?,一、动量矩,1. 质点的动量矩,质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的动量距,大小,的方向符合右手法则.,单位 或,方向垂直于 和 组成的平面,质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz上的投影 称为该质点对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时，其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩：,或,又,故得,取正号LZ与Oz同向，负号反向，实际计算时，可根据 方向或V方向选动量矩L逆时针方向为正，顺时针为负。,（动量矩竖直向上）,（动量矩竖直向下）,mv,r,o,mv,2. 刚体的动量矩,刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和.,即,L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向.,对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.,注意：实际计算时，可根据 方向选动量矩L逆时针方向为正，顺时针为负。,二、刚体定轴转动时的动量矩定理,刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.,将上式变形后积分,动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.,由刚体定轴转动定律,（刚体动量矩定律）,动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为零时，系统的动量矩守恒.,三、动量矩守恒定律,若 ，,花样滑冰 跳水运动员跳水,1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变.,2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.,1、一圆盘可绕着通过其中心并且与盘面垂直的光滑铅直轴转动。设盘原来静止，盘上站着一人，当人沿着某一圆周走动时，试问以人和盘作为系统，其动量矩是否守恒？单就圆盘来说，其动量矩是否守恒？ 2、一圆盘绕着垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，有两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，同时射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度 （A）增大 （B）不变 （C）减小 （D）不能确定,O,M,m,m,3、质量均匀的细杆长为2L，质量为M，起初以角速度 绕过中点与杆垂直的竖直轴在水平面内转动。杆上穿有两个质量都是m的小球（视作质点），它们由静止与杆的中点滑到杆的两端。问此时杆的角速度多大？,解：对小球和杆组成的系统。因为小球和杆所受重力平行于转轴，对转动无贡献，杆和小球之间摩擦力属于内力，且力作用线通过转轴，力臂为0，系统不受外力矩作用，动量矩守恒。,两式联解可得,（1）,解：,杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无