高中数学复习复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义课件.pptx

主题1 复数的加法 1.设向量 分别表示复数z1,z2,那么向量 表示的复数应该是什么? 提示: 表示的复数是z1+z2.,2.设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)对应的向量 分别为 那么向量 的坐标分 别是什么? 提示:,3.已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).类比多项式的加法法则想一想复数如何相加? 提示:用文字语言描述:两个复数相加就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加 用符号语言描述:z1=a+bi,z2=c+di,则(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,用几何语言描述:设 分别与复数a+bi,c+di 对应,则 =(a,b), =(c,d),由平面向量的坐标运 算,得 =(a+c,b+d). 故 对应的复数为a+c+(b+d)i.,结论: 1.定义 对于复数z1=a+bi和z2=c+di,a,b,c,dR, z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_.,(a+c)+(b+d)i,2.几何意义 复数的和z1+z2与向量 的坐标对应.,【微思考】 两个复数可以相加,那么两个以上的复数能相加吗?具体怎么运算? 提示:能相加,仍是实部相加、虚部相加.,主题2 复数的减法 1.规定:复数的减法是加法的逆运算,若复数z=z1-z2,则复数z1等于什么? 提示:z1=z+z2.,2.设复数z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),z=x+yi(x,yR),代入z1=z+z2,由复数相等的充要条件得x,y分别等于什么? 提示:x=a-c,y=b-d.,3.根据上述分析,设复数z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),则z1-z2等于什么? 提示:z1-z2=(a-c)+(b-d)i.,4.类比多项式的减法想一想复数如何相减? 提示:用文字语言描述:两个复数相减就是把实部与实 部、虚部与虚部分别相减用符号语言描述:z1=a+bi, z2=c+di,a,b,c,dR,则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i,用几何语言描述:设 分别与复数a+bi,c+di对应, 则 =(a,b), =(c,d),由平面向量的坐标运算,得 =(a-c,b-d).这说明两个向量 与 的差 就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.,结论: 1.定义 对于复数z1=a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a+bi)-(c+di) =_.,(a-c)+(b-d)i,2.几何意义 复数的差z1-z2与向量 的坐标对应.,【微思考】 通过学习复数的加法,我们知道,可以把复数的代数式看成关于“i”的多项式进行运算.那么对于两个以上的复数能否进行减法运算? 提示:能运算,方法同加法.,【预习自测】 1.一个实数与一个虚数的差 ( ) A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数,【解析】选C.若实数0与纯虚数作差则得纯虚数,故A错.因虚数的虚部不为0,故一个实数与一个虚数的差一定不是实数.,2.在复平面内,向量 对应的复数为3-4i,点B对应 的复数为-2+2i,则向量 对应的复数为 ( ) A.5-6i B.1-2i C.-5+6i D.5-2i,【解析】选B.由复数加法运算的几何意义知, 对应的复数即为(3-4i)+(-2+2i),即1-2i.,3.设f(z)=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( ) A.1-3i B.-2+11i C.-2+i D.5+5i,【解析】选D.因为z1=3+4i,z2=-2-i, 所以z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i. 又因为f(z)=z, 所以f(z1-z2)=z1-z2=5+5i.,4.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i,则点D对应的复数为_.,【解析】在复平面内A,B,C对应的坐标分别为(1,3), (0,-1),(2,1),设D的坐标为(x,y),由于 因此有(x-1,y-3)=(2,2),所以x-1=2,y-3=2,解得 x=3,y=5,故点D对应的复数为3+5i. 答案:3+5i,5.计算:(1)(-1+ i)+(1+ i). (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).,【解析】(1)(-1+ i)+(1+ i) =(-1+1)+( + )i=2 i. (2)(a+bi)-(2a-3bi)-3i =(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-3)i.,类型一 复数代数形式的加、减运算 【典例1】(1)已知复数z=(-3-4i)+(2+i)-(1-5i),则复数z在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)计算: (3-2i)-(10-5i)+(2+17i); (1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+(2017-2018i)-(2018-2019i).,【解题指南】(1)利用复数的加减运算求出z,再看z的实部和虚部判断对应点的位置.(2)多个复数相加减,将复数的实部和虚部分别相加减即可,所得结果分别作为实部和虚部.,【解析】(1)选B.z=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. 对应点为(-2,2),在第二象限. (2)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i. 方法一:原式=(1-2+3-4+2017-2018)+(-2+3- 4+5+-2018+2019)i=-1009+1009i.,方法二:(1-2i)-(2-3i)=-1+i, (3-4i)-(4-5i)=-1+i, (2017-2018i)-(2018-2019i)=-1+i, 将上列1009个式子累加可得1009(-1+i)=-1009+1009i.,【方法总结】复数代数形式的加、减法运算技巧 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部.,(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减. (3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.,【巩固训练】计算:(2-3i)+(-4+2i)=_. 【解析】(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i. 答案:-2-i,【补偿训练】(1)若f(z)=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+i,求 f(z1-z2). (2)z1=2cos-i,z2=- +i2sin(02),且 z1+z2对应的点位于复平面的第二象限,求的范围.,【解析】(1)z1-z2=(3+4i)-(-2+i)=5+3i. f(z1-z2)=(5+3i)+1-i=6+2i. (2)z1+z2=(2cos- )+(2sin-1)i, 则 又0,2,故 .,类型二 复数加减运算的几何意义 【典例2】(1)A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的 点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则三角形AOB一定是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形,(2)已知平行四边形的三个顶点分别对应复数2i,4-4i,2+6i.求第四个顶点对应的复数.,【解题指南】(1)利用复数加法、减法几何意义及向量的平行四边形法则与三角形法则,借助|z1+z2|=|z1-z2|确定三角形AOB的形状. (2)根据题设条件可知,第四个顶点有3种不同情况,然后分情况利用复数加减法求解.,【解析】(1)选B.根据复数加(减)法的几何意义,知以 为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此 平行四边形为矩形,故OAB为直角三角形. (2)如图,设这个平行四边形已知的三个顶点分别为 Z1,Z2,Z3,它们对应的复数分别是z1=2i,z2=4- 4i,z3=2+6i,第四个顶点所对应的复数为z4,则,当这个平行四边形是以Z1Z2和Z1Z3为一组邻边时,有 所以z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),z4=(z2+z3)-z1=6. 当这个平行四边形是以Z1Z2和Z2Z3为一组邻边时,有,所以z4-z2=(z1-z2)+(z3-z2). 所以z4=(z1+z3)-z2=-2+12i. 当这个平行四边形是以Z3Z1和Z3Z2为一组邻边时,有,所以z4-z3=(z1-z3)+(z2-z3). 所以z4=(z1+z2)-z3=2-8i. 综上所述,这个平行四边形的第四个顶点对应的复数为6或-2+12i或2-8i.,【延伸探究】若将本例(2)中条件改为“如图所示,平 行四边形ABCD的顶点A,B,D分别对应的复数为2i,4- 4i,2+6i”,求(1)对角线 对应的复数.(2)对角线 对应的复数.,【解析】(1)因为 所以对角线 对应的 复数为(4-4i)-(2+6i)=2-10i. (2)因为 所以对角线 对应的复数为2+6i-2i+4-4i-2i=6-2i.,【方法总结】复数加减法的几何意义在复数运算中的应用 (1)复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法则、三角形法则有关,因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时,主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算.,(2)由于复数可用向量表示,因而可将复数问题转化为向量问题,利用向量的方法解决.,【巩固训练】在平行四边形ABCD中,A,B,C三个顶点所对应的复数分别为3+3i,-5i,-2+i,求第四个顶点D对应的复数.,【解析】因为 所以 所以 所以 对应的复数为3+3i-2+i+5i=1+9i. 所以第四个顶点D对应的复数为1+9i.,类型三 复数模的最值问题 【典例3】(1)如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6,那么 |z+1+i|的最小值是 ( ) A.1 B. C.2 D. (2)若复数z满足|z+ +i|1,求|z|的最大值和最 小值.,【解题指南】(1)先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所对 应的轨迹,再依据|z+1+i|的几何意义求最小值. (2)明确满足条件|z+ +i|1的复数z的几何意义为: 圆心为(- ,-1),半径为1的圆内区域,包括边界,|z| 则表示圆面上一点到原点的距离.,【解析】(1)选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6所以点Z到点A(0,-3)与到点B(0,3)的距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1,-1)的距离.数形结合,得最小距离为1.,(2)如图所示: 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.,【延伸探究】 1.若本例(2)条件改为已知|z|=1且zC,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.,【解析】因为|z|=1且zC,作图如图: 所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上 的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1= 2 -1.,2.若本例(2)中条件不变,求|z- |2+|z-2i|2的最大 值和最小值. 【解析】如图所示,在圆面上任取一点P,与复数 zA= ,zB=2i的对应点A,B相连,得向量 再以 为邻边作平行四边形.,P为圆面上任一点,zP=z, 则 (平行四边形四条边的平方和等于对角线的平方和),所以 而 所以|z- |2+|z-2i|2的最大值为27+2 ,最小值为 27-2 .,【方法总结】复数模的最值问题解法 (1)|z-z0|表示复数z,z0的对应点之间的距离,在应用时,要把绝对值号内变为两复数差的形式. (2)|z-z0|=r表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.,(3)涉及复数模的最值问题,可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.,拓展类型:复数中的轨迹问题及简单应用 【典例】(1)设z=bi(bR),若使|z-2+i|+|z-2+3i|的值最小,则b=_ (2)已知复数z满足方程|2z-1+i|=|z+1|,求复数z对应点的轨迹.,【解题指南】(1)利用复数的模及复数的几何意义判断. (2)设出复数的代数形式,利用模的计算方法转化为轨迹方程.,【解析】(1) 由复数的几何意义可知, |z-2+i|表示z对应的点与点(2,-1)之 间的距离,|z-2+3i|表示z对应的点与 点(2,-3)之间的距离,结合图形知,要使距离的和最小,则z为虚轴上的点(0,-2),所以b=-2. 答案:-2,(2)设z=x+yi(x,yR),则(2x-1)2+(2y+1)2=(x+1)2+y2, 整理得(x-1)2+ = .所以复数z对应点的轨迹 是以点 为圆心,以 为半径的圆.,【方法总结】|z-z0|(z,z0C)几何意义的应用 (1)判断点的轨迹. (2)利用几何知识解决代数问题.,【巩固训练】1.M=z|z+1|=1,N=z|z+i|=|z-i|,则MN=_.,【解析】利用复数的几何意义解决问题.在复平面 内,|z+1|=1的几何意义是以点(-1,0)为圆心,以1为半 径的圆.|z+i|=|z-i|的几何意义是到点A(0,1)和点 B(0,-1)距离相等的点的集合,是线段AB的垂直平分线,也就是x轴.MN