地球重力场及地球形状的基本理论.ppt

第三章 地球重力场及地球形状的 基本理论(4),第六节 关于测定垂线偏差和大地水准面差距的基本概念,一）关于测定垂线偏差的基本概念,1. 基本概念 1) 垂线偏差：地面点重力方向与该点相应椭球面上的法线之间的夹角，用 表示，子午（南北）分量为 ，卯酉（东西）分量为 。,2)天文大地垂线偏差:根据所采用的椭球不同可分为绝对垂线偏差及相对垂线偏差，垂线同总地球椭球(或参考椭球)法线构成的角度称为绝对(或相对)垂线偏差，它们统称为天文大地垂线偏差。,3)天文经度 ：包含测站垂线的子午面与起始子午面的夹角； 4)天文纬度 ：测站的垂线与赤道面的夹角； 5)天文方位角：包含测站垂线的子午面与测站垂线和照准面所张 成的垂直面的夹角； 6)天文天顶距：测站垂线与观测方向的夹角, 2、球面三角定理,1)、球面正弦定理：, 2)、球面边余弦定理：, 3)、球面角余弦定理：, 4)、球面半角和差定理：, 5)、球面半边和差定理：, 6)、球面余切定理：, 7)、边的正弦与相邻角余弦乘积定理：,1、球面三角形 (spherical triangle),2、球面角超 (spherical excess),定义,球面三角学的基本知识 Basic of Spherical Trigonometry,计算公式,3、球面三角形公式（单位球）,正弦公式（四元素）,单位球,边的余弦公式（四元素）,角的余弦公式（四元素）,正余弦公式（五元素）,3、球面三角形公式（单位球）,余切公式（四元素）,正切公式（四元素）,3、球面三角形公式（单位球）, 8)、角的正弦与相邻边余弦乘积定理：,3 拉普拉斯方程,以测站为中心作单位半径的辅助球，ZO为法线，Z1O为垂线，为垂线偏差，为其在卯酉圈上（东西方向）的分量，为其在子午圈上（南北方向）的分量。,1）垂线偏差在任意垂直面上的投影分量： 如图：ZM任意方向，大地方位角为A，该方向垂线偏差分量为A，直角三角形ZZ2Z1，ZQZ1都是微小三角形，可认为是平面三角形，则有：,Z,Z1,P,A,u,u,法线,铅垂线,Z,G,L,90-B,90-,-L,90-B,90-,测站点,六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）,由正弦定理,取,得垂线偏差公式,由纳白尔规则,六、垂线偏差公式（天文经纬度的归算）,Z,Z1,P,A,M,R1,R,O,1,m,法线,铅垂线,Z,A,1,G,可由垂线偏差改正公式求得,关键求,-L,90-B,90-,七、天文方位角的归算,拉普拉斯方程式,拉普拉斯方程式,由正弦定理,由垂线偏差改正公式,-L,七、天文方位角的归算,拉普拉斯方程式,2）卯酉圈分量 与子午圈分量的计算,在球面直角三角形Z1Z2P中利用球面正弦定理可得：,在球面直角三角形Z1Z2P中利用球面余切定理可得：,3）天文天顶距Z0与大地天顶距Z的归算公式：由半边差公式有：,4）拉普拉斯方程：天文方位角的归算公式 由半角和公式 有：,即,可见，通过垂线偏差把天文坐标和大地坐标联系起来，从而实现两种坐标的转换。,4. 利用坐标转换公式推导拉普拉斯方程：,如图所示：xyz为大地站心坐标系，x1 y1 z1为天文站心坐标系。两者的关系为：,1,天文和大地坐标系分别与原点在站心，坐标轴与三维空间直角坐标系指向相同的坐标系的关系如下：,由上面第一式代入第二式得：,上式与 式相比较，得：,1,略去高次项，整理得：,并得出Laplace方程：,顾及天文站心系（x1，y1，z1）与大地站心系（x，y，z）的关系：,和天顶距、方位角和站心坐标的关系：,将第二式代入第一式，得：,将sin,sinZ1,cos,cosZ1在A，Z处展开为级数式，并取前两项有：,2,由第三式，得：,由第一式或第二式，顾及上式，并略去高次项得：,代入 式，并略去二次以上的项，得：,2,如果椭球短轴不平行与地轴，大地起始子午面不平行大地起 始子午面，则还要考虑三个旋转角的影响，此时，大地经纬度和 方位角与天文经纬度和方位角的关系可推广为：,5 测定垂线偏差的基本方法,1）天文大地测量方法 在天文大地点上，测定其大地坐标（L，B）和其天文坐标（，），利用下式便可计算该点的垂线偏差：,某点的垂线偏差等于在该点处大地水准面与参考椭球面的夹角。它在 某一个方向的分量等于该方向上大地水准面与参考椭球面的夹角。,如图GPS基线AB，为大地水准面与参考椭球面的夹角，D为A，B两点距离。，为其高程异常， = - ，基线方向垂线偏差分量计算公式为：,1,2）GPS测量方法,当A，B相距不远时，垂线偏差可认为是呈线性变化，那么有：,设A= B= ，则有：,只要测出基线长D，大地方位角A，高程异常差，根据式便可求得， 。对多条基线，可用最小二乘法求解。,1,3）重力测量方法,4）天文重力测量方法,二）关于测定大地水准面差距的基本概念,1.用地球重力场模型法计算大地水准面差距:,1) 扰动位T:大地水准面上一点P的实际重力位W与其正常重力位U之差.即T=W-U。,地球引力位为：,正常引力位为：,1,2,2) 大地水准面差距N：大地水准面到参考椭球面之间的距离。,如上图所示，假设大地水准面外没有质量，同时地球总质量不变。图中，S为正常椭球面， 为大地水准面，N为P点的大地水准面差距。在选择椭球时，我们规定大地水准面W。C和正常椭球面U0=C，即这两个曲面的常数C相等。于是，大地水准面上P点的重力位,式中：,为大地水准面上的扰动位。,点上的正常重力位为,由两水准面之间的距离N的计算公式：,由于约定 ，故上式可写成：,2. 卫星无线电测高法研究大地水准面,如图，利用卫星雷达测出卫星到大地水准面（平均海水面）的高h ，若卫星的大地高为H，则大地水准面差距N=H-h。 如图还可知：r=r0+h，若已知卫星的位置向量r和测量向量h，则可 计算大地水准面Q0的地心向量r0,进而可以确定大地水准面的形状，若 已知大地水准面向量r0和观测向量h，则可以确定位卫星地心位置向量 r。,3.利用GPS高程拟合法研究似大地水准面,在GPS网中，用GPS测出各控制点的大地高H，再用水准测量测出 各点的正常高h，便可求出各点的高程异常 i=Hi-hi，再利用最 小二乘法求出拟合方程的系数，确定拟和方程后，便可推算其它的 高程异常。常用的拟合模型有：,4、利用斯托克司积分公式计算大地水准面差距,5、利用最小二乘配置法研究似大地水准面,或,或,七、关于确定地球形状的基本概念,1）基本原理:沿子午圈观测两段或两段以上的弧长及其两端点的纬度，根据以下方程，计算（或采用最小二乘法）计算椭球参数a与 。进而确定地球形状与大小。,也可测量不同纬度的平行圈的弧长来确定椭球参数。,1. 天文大地测量方法,2) 利用旧的椭球元素计算新的椭球元素,若求得了a,便可得a新，新。,由于,由垂线偏差公式与大地水准面差公式可得：,上式称为广义弧度测量方程，每个天文在地点都可列出这样的方程，然后利用最小二乘法 和 求出椭球参数，确定椭球的形状大小，还可进行椭球定位。,那么,2. 重力测量方法,3.空间大地测量方法,在地面上测量两点（以上）的重力，并归算到平均海水面上，再测定这些点的大地纬度B i及地球自转速度，根据克莱罗定理有：,（利用最小二乘法）计算e，可得到地球扁率 =（5/2）q-，进而确定地球形状与大小。,Z,Z1,P,A,M,R1,R,O,1,m,垂线偏差改正,法线,铅垂线,N,法线,铅垂线,Z,Z1,P,A,M,R1,R,O,1,m,q,法线,铅垂线,N,在球面直角三角形MRR1中,1、垂线偏差改正,Z,Z1,P,A,M,R1,R,O,1,m,q,q,A,法线,铅垂线,N,在球面三角形MZZ1中,Z,Z1,M,q,A-,z1,1、垂线偏差改正,1、垂线偏差改正,顾及（R1-R)和均为微小量：,在球面直角三角形MZZ1中,Z,Z1,P,A,M,R1,R,O,1,m,q,q,A,法线,铅垂线,N,顾及（R1-R)和均为微小量：,1、垂线偏差改正,Z,垂线偏差改正公式：,说明：垂线偏差改正，不仅与测站的垂线偏差有关，而且与观测方向的方位角和垂直角有关。,顾及（R1-R)和均为微小量：,1、垂线偏差改正,1） =0,=0 (铅垂线与法线一致) 2） A= (照准点在ZZ1OA面内) 3） 1=0或z1=90 （照准点在测站水平面上）,1、垂线偏差改正,讨论,Z,Z1,P,A,M,R1,R,O,1,m,q,q,A,法线,铅垂线,N,Z,垂线偏差改正为零的情况,适用范围 (一、二等测量计算),返回,作业： (1) 写出质点引力位，离心力位的表达式？ (2) 重力位有何性质？大地水准面是如何定义的？ (3) 为什么要引入正常地球，讨论正常位与正常重力？目前一般实 用的正常地球是什么形状？ (4) 正常重力公式,是用来计算什