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文档简介

第六章,1.多元数量值函数积分的概念与性质,2.二重积分的计算,多元函数积分学,3.三重积分的计算,4.重积分的应用,5.含参变量的积分和反常积分,6.第一型线积分和面积分,7.第二型线积分和面积分,8.各种积分的联系及其在场论中的应用,解法: 类似求曲边梯形面积的思想:,1. 曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底： xoy 面上的闭区域 D,顶: 连续曲面,侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面,求其体积.,“大化小(分), 常代变(匀), 近似和(合), 求极限(精)”,第一节 多元数量值函数积分的概念与性质,1.1 引例,步骤如下：,(3)用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶 柱体的体积，,(4)曲顶柱体的体积,(1)先分割曲顶柱体的底，,用任意曲线网分D为 n 个区域,以它们为底把曲顶柱体,分为 n 个小曲顶柱体,2. 平面薄片的质量,有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D ,计算该薄片的质量 M .,度,设D 的面积为 ,则,若,非常数 ,仍可用,其面密,“大化小(分), 常代变(匀),近似和(合), 求极限（精）” 的思想来解决.,1)“大化小”（分）,用任意曲线网分D 为 n 个小区域,相应把薄片也分为小区域 .,2)“常代变”（匀）,中任取一点,3)“近似和”（合）,4)“取极限”（精）,则第 k 小块的质量,1)“大化小”（分）,用任意地分为 n 个小的部分,2)“常代变”（匀）,中任取一点,则第 k 小块的质量,3)“近似和”（合）,4)“取极限”（精）,定义:,将几何体 任意分成 n 个小部分,任取一点,若存在一个常数 I , 使,积分和,是定义在有界几何体上的数量值函数 ,为各小部分的直径中的最,大值.,1.2 多元数量值函数积分的概念,根据积分区域的类型不同，可将以上多元函数积分分成以下几种类型:,1.3 积分存在的条件和性质,若函数,推论1.,在D上可积.,在有界闭区域 D上连续,则,推论2.,限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积.,若有界函数,在有界闭区域 D 上除去有,多元函数积分的性质,( k 为常数),6. 设函数,D 位于 x 轴上方的部分为D1 ,当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍,在 D 上,在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则,则,有类似结果.,在第一象限部分, 则有,例1. 比较下列积分的大小:,其中,解: 积分域 D 的边界为圆周,它与 x 轴交于点 (1,0) ,而域 D 位,从而,于直线
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