概率论的基本概念1.ppt

2019/5/31,1,概率论与数理统计,2019/5/31,2,第一章 概率论的基本概念,1. 确定性现象和不确定性现象。,3. 随机现象: 在一定条件下可能发生这种结果也可能发生那种结果的，因而无法事先断言出现哪种结果的现象称为随机现象。,4. 随机现象具有统计规律性。,2. 统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性。,2019/5/31,3,1 随机试验,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。,E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的 情况。,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。,E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。,E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,2019/5/31,4,(1) 可以在相同的条件下重复进行;,随机试验的特点,(2) 每次试验的可能结果不止一个,且能事先 明确所有可能的结果;,(3) 一次试验只出现一个结果，且试验前不能 确定哪个结果会出现。,2019/5/31,5,随机试验中，每一个可能结果称为该试验的一个样本点（或基本事件）.全体样本点组成的集合称为该试验的样本空间，记为S。,样本空间,E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。,S1=H,T,2019/5/31,6,E5：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。,S5=0,1,2, ,E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。,S3=0, 1，2, 3,E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。,S2=HHH, HHT，HTH, THH, HTT,THT,TTH,TTT ,E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。,S4=1, 2，3, 4，5，6,2019/5/31,7,E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命.,S6=t| t0,1.离散样本空间:样本点为有限多个或可列多个;例E1,E2等。,2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值.例灯泡的寿命t|t0。,E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。,这里x表示最低温度，y表示最高温度. 并设这一地区的温度不会小于T0，也不会大于T1。,2019/5/31,8,“在一定条件下可能发生也可能不发生的事情”叫做随机事件（试验E的样本空间S的子集）,简称事件.,如在上面的例子中，“出现正面”,“出现反面”, “点数4”,“出现偶数点”, t1000等都是随机事件.,事件是由样本空间中某些样本点组成的集合,事件发生当且仅当它所包含的某一个样本点出现。,随机事件,2019/5/31,9,基本事件:由一个样本点组成的单点集.如:H,T.,必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是发生的，称为必然事件。,复合事件:由两或两个以上的基本事件复合而成的事件，称为复合事件. 如:E3中 出现正面次数为偶数.,不可能事件：空集 不包含任何样本点，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。,2019/5/31,10,1.包含关系和相等关系:,若事件A发生必然导致事件B发生, 则称事件B包含事件A,记作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等。,2 事件间的关系与事件的运算,2019/5/31,11,2.事件的并:,2019/5/31,12,3.事件的交：“事件A与B同时发生”这一事件称为A与B的交（积事件），记作A B (AB)，A B=x|x A 且 x B,类似地，事件 为可列个事件A1，A2，的交.,2019/5/31,13,4.事件的差: 事件A-B=x|xA且xB 称为A与B的差.当且仅当A发生, B不发生时事件A-B发生.即:,显然: A-A= , A- =A, A- S =,2019/5/31,14,(1)基本事件是两两互不相容的,即样本点是互不相容的,事件A与B-A是互不相容的.,5. 互不相容事件(互斥事件):,(2)若用集合表示事件, 则A,B互不相容即为A与B是不相交的.,2019/5/31,15,6. 对立事件(逆事件)：,若 ，则称A与B互为逆事件，也称为对立事件。即在一次实验中，事件A与B中必然有一个发生，且仅有一个发生。,A的对立事件记为 。若A与B互为对立事件，则记为 。,2019/5/31,16,7.事件的运算律:,交换律:,结合律:,分配律：,2019/5/31,17,说明:,摩根律推广：,德摩根律:,2019/5/31,18,例1 如右图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B, C, D分别表示事件：继电器接点I, II, III闭合，那么容易知道,2019/5/31,19,例2 高射炮对模型飞机射击三次，设Ai表示“第i次击中飞机”，用Ai表示下列事件,（1）B1“只有第一次击中飞机” （2）B2“恰有一次击中飞机” （3）B3“至少有一次击中飞机” （4）三次击中飞机时击落飞机,B4:“没有被击落”,2019/5/31,20,解,(1),2019/5/31,21,(一) 频率 1. 将一试验E在相同的条件下重复进行n次,如果事件A发生了nA次, 则比值 nA/n 称为事件A发生的频率,记为fn(A).,2、频率的基本性质：,3 频率与概率,2019/5/31,22,频率的特性: 波动性和稳定性.,说明,(1) 波动性: 对于同样的试验次数, 不同的试验其频率不同; 对于同一试验, 不同的试验次数n, 其频率也不同, 当n较小时, fn(A)随机波动的幅度较大.,(2)稳定性:随着n逐渐增大，事件A的频率总在某一定值P(A)的附近摆动而逐渐稳定于这个值，这个定值P(A)通常称为频率的稳定值。,2019/5/31,23,2019/5/31,24,投币试验,2019/5/31,25,字母 频率 字母 频率 字母 频率 E 0.1268 L 0.0394 P 0.0186 T 0.0978 D 0.0389 B 0.0156 A 0.0788 U 0.0280 V 0.0102 O 0.0776 C 0.0268 K 0.0060 I 0.0707 F 0.0256 X 0.0016 N 0.0706 M 0.0244 J 0.0010 S 0.0634 W 0.0214 Q 0.0009 R 0.0594 Y 0.0202 Z 0.0006 H 0.0573 G 0.0187,2019/5/31,26,(二)概率,1 统计定义： 频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A的概率。,2019/5/31,27,2 公理化定义：设S为样本空间，A为事件，对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满足如下三条公理：,则称P(A)为事件A的概率。,2019/5/31,28,概率的性质:,2019/5/31,29,2019/5/31,30,2019/5/31,31, P(B)=P(A)+P(B-A),即 P(B-A)=P(B)-P(A).,2019/5/31,32,2019/5/31,33,这个式子称为“加奇减偶公式”.,1.,2.,2019/5/31,34,可以利用上面的加奇减偶公式和,推得下面的公式,2019/5/31,35,例1 设A,B为两个事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.3, P(AB)=0.2,求下列各事件的概率.,(3),(4),2019/5/31,36,若随机试验有以下两个特点:,例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.,(1) 样本空间中只有有限个样本点;即 S =e1, e2, en,(2) 试验中每个基本事件(样本点)的发生 是等可能的,即P(e1)=P(e2)= =P(en).,计算公式:,对古典概型,由概率定义及 等可能性,可得,这类随机现象的概率模型叫做古典概型.,4 古典概型,2019/5/31,37,故有,称A中的样本点为A的“有利场合”，于是,2019/5/31,38,加法原理:,完成一件工作, 有m类方法, 而第1类方法有n1 种方法, 第2类方法有n2种方法,第m类方法有nm种方 法, 任选一种此工作就完成, 那么完成这项工作共有 N=n1+n2+nm种不同的方法.,乘法原理:,完成一件工作, 需要m个步骤, 而第1步有n1 种方法, 第2步有n2种方法,第m步有nm种方 法, 依次完成这m步时这项工作才完成, 那么完成这项工作共有 N=n1n2 nm种不同的方法.,2019/5/31,39,例1 一部5卷的文集随便放在书架上，问： （1）A:第三卷刚好放在中间,(2)B:各卷书自左 或自右顺序摆放的概率是多少？,解：5卷书所有的排列方法数为,(1) A所包含的样本点数为 所以,(2) B所包含的样本点数为2，所以,2019/5/31,40,古典概型概率的计算步骤:,(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.,(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.,(3) 用下列公式计算.,2019/5/31,41,例2. 袋中装有4只白球和2只红球.从中有放回摸球两次,每次任取一球.求: (1)A:两球颜色相同的概率 (2)B:两球中至少有一只白球的概率.,P(A1)=(44)/(6 6) 0.444，P(A2) 0.111,所以P(A)=P(A1A2)=P(A1)+P(A2) 0.556,解 定义事件: A1=“两球都是白球”, A2=“两球都是红球”,样本空间:取两次球, 共有6 6种取法.,由于A= A1A2,A1包含4 4种取法,A2包含22种取法,故,P(B)=1-P(A2) 0.889,2019/5/31,42,例3. 设一袋中有编号为1,2,9的球共9只,现从中任取3只,试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）,解: 从9个球中任取3只球,共有 种取法.,（2）最小号码为5,共有 种取法.,（1）取到1号球共有 种取法,2019/5/31,43,例4. 将n只球随机地放入N (Nn)个盒子中去,试求每个盒子至多有 一只球的概率.(设盒子的容量不限).,解: 每一只球都可以放入N个盒子中的任一个, 共有(NN . N)种不同的放法.每个盒子至多放一只球,共有,种不同的放法.,2019/5/31,44,假定每个人的生日在一年365天的任一天 都等可能, 随机选取n(365)个人,至少有两 人生日相同的概率为:,生日问题,2019/5/31,45,例5. 设有N件产品,其中D件次品,从中任取n件,求其中恰有k(kD)件次品的概率.,2019/5/31,46,例6. 15名新生中有3名是优秀生, 将这15名新生随机地平均分配到三个班级中去, 问每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?,2019/5/31,47,例7 某接待站在某一周曾接待过12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的？,解 假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都在周二、周四的概率为212/712=0.0000003.,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”（称之为实际推断原理)。,现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此，有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,2019/5/31,48,(一) 条件概率: 设试验E的样本空间为S , A, B是事件, 要考虑在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概率,记为P(B|A).,例1. 将一枚硬币掷两次, 观察其出现正反面的 情况. 设 A“至少有一次正面”, B“两次掷 出同一面” 求： A发生的条件下B发生的概率.,5 条件概率,2019/5/31,49,S =HH, HT, TH, TT,A=HH, HT, TH,B=HH，TT,于是 P(B|A),分析：,已知事件A已发生，有了这一信息，知道“TT”不可能发生，即知试验所有可能结果所成的集合就是A。,=1/3.,2019/5/31,50,在古典概型中:样本空间S由n个 样本点组成,若事件A包含nA个样 本点，AB包含nAB个样本点，则,直观含义: 求这个条件概率, A发生是一大前 提,构成所考虑问题的全空间 ，在这个空间 中求B发生的概率，因此P(B|A)=P(AB)/P(A).,2019/5/31,51,1. 定义: 设A, B是两个事件, 且P(A)0, 称,为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.,2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三条公理,即,2019/5/31,52,此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：,特别地，当A=S时,P（B|S）=P(B)，条件概率化为无条件概率，因此无条件概率可看成条件概率。,2019/5/31,53,例2 根据长期气象纪录，甲乙两城市一年中 雨天的比例分别为20%和18%,同时下雨的 比例为12%。问甲乙两城市气候是否相关？,解：以A,B分别表示甲乙两城市出现雨天。 则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,于是,显然，两城市气候是密切相关的。,2019/5/31,54,例3 袋中有某产品件，其中一等品件 二等品件，不放回从中连续抽两件，A 表示第一次抽到一等品，B表示第二次抽 到一等品，求P(AB).,(二) 乘法定理:,2019/5/31,55,推广: P(AB)0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).,一般, 设A1, A2, ,An是n个事件,(n2), P(A1A2 .An-1)0, 则有乘法公式:,P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An-1|A1A2An-2) P(An|A1A2An-1).,2019/5/31,56,例4 设盒中有a(a2)个黑球，b个白球，连续从 盒中取球3次，每次取一球，取后不放回，求 第1,3次取到黑球第2次取到白球的概率。,解 以Ai 表示事件“第i次取到黑球”(i=1,2,3),2019/5/31,57,例5. 透镜第一次落下打破的概率为0.5,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为获0.7, 若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为0.9, 试求透镜落下三次而未打破的概率.,2019/5/31,58,(三) 全概率公式和贝叶斯公式:,1. 样本空间的划分,2019/5/31,59,(1) 若B1,B2,Bn是样本空间S的一个划 分,则每次试验中, 事件B1, B2, , Bn 中必 有一个且仅有一个发生.,2019/5/31,60,再利用乘法定理即得,由概率的有限可加性,得,分析：,2019/5/31,61,例6 一批麦种中混有2%的二等种、1%的三等种、1%的四等种。一、二、三、四等种的发芽率为98%、95%、90%、85%，现取一粒种子，问它能发芽的概率是多少？,解 设表示Bi“取到一粒种子属i等种”(i=1, 2,4)，显然Bi构成S的一个划分，设A表示 “取到一粒种子能发芽”，则由全概率公式得,2019/5/31,62,例7 甲箱中装有3只红球和2只白球,乙箱中2只红 球和2白球，从甲箱中取两只球放入乙箱中，再 从乙箱中取1球,求A:“从乙箱取得白球”的概率.,解 设Bi=从甲箱中取出i只白球i=0,1,2.则B0,B1,B2构成样本空间的一个分划。有,由全概率公式,2019/5/31,63,贝叶斯公式:,由乘法公式:,由全概率公式:,P(A),于是可得结论.,2019/5/31,64,贝叶斯公式的直观意义为：若事件B1,B2,Bn是引起事件A发生的n个原因，它们的概率P(Bi)(i=1,2,n)是在对A观察前就已知的，因此通常叫做先验概率。,如果在一次试验中，事件A（结果）发生了，那么反过来问：A的发生是由第i个原因引起的概率P(Bi|A)是多少？这就是贝叶斯公式解决的问题。通常称P(Bi|A)(i=1,2,n)为后验概率。,全概公式是“由因导果”的一个过程，贝叶斯公式则是“由果溯因”的一个推断公式。,2019/5/31,65,解 由贝叶斯公式可得,同理,例6（续）若取一粒种子做发芽实验，结果发芽 了，问它是一、二、三、四等种的概率是多大？,2019/5/31,66,例8. 某电子设备厂所用的晶体管是由三家元件制 造厂提供的,数据如下: 元件制造厂 次品率 提供的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 (1) 任取一只晶体管,求它是次品的概率. (2) 任取一只,若它是次品,则由三家工厂 生产的概 率分别是多少?,2019/5/31,67,2019/5/31,68,例9 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好 时, 产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时, 其合格率为30%, 每天早晨机器开动时机器调整良 好的概率为75%, 试求已知某日早上第一件产品是 合格品时, 机器调整得良好的概率是多少?,解:,由Bayes公式：,P(B|A)=,=(0.90.75)/(0.9 0.75+0.3 0.25) =0.9.,2019/5/31,69,设A,B是试验E的两事件,当P(A)0, 可以定 义P(B|A),一般地, P(B|A)P(B), 但当A的发生对B的发生没有影响时,有P(B|A)=P(B)。,6 独立性,由乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,2019/5/31,70,例1. 设袋中有a只红球和b只白球(b0),今从袋 中取两次球,每次各取一球,分为放回和不放回 两种情况.,记: A“第一次取得的是红球”, B“第二次取得的是红球”,1. 有放回时:,所以 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B).,2019/5/31,71,2. 不放回时:,2019/5/31,72,定义1: 设A,B是两事件,如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B是相互独立的事件， 简称A,B独立.,必然事件S和不可能事件 与任何事件A 都独立,2019/5/31,73,定理：如果事件A,B相互独立，且P(B)0,则 P(A|B)=P(A),反之亦然.,证： 由条件概率及上式定义得,2019/5/31,74,定理,2019/5/31,75,例2 甲、乙两射手向同一目标各射击一次,甲 击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为 0.8，求在一次射击中目标被击中的概率。,解 记A:“甲击中目标”，B:“乙击中目标” C:“目标被击中”,这里可认为事件A,B独立,则,2019/5/31,76,定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件.,定义3：对n个事件A1,A2,An,如果对所有可 能的组合1ijkn成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An), 则称这n个事件A1,A2,An相互独立.,2019/5/31,77,推论：1. 如果A1,A2,An相互独立，那么其 中任意m个事件也相互独立.,2. 如果A1,A2,An相互独立，则将其中任 意个事件换成其逆事件后也相互独立.,2019/5/31,78,注意： 1. 前面三个式子表明A, B, C三事件两 两独立,并不能说A, B, C三事件相互独立.,定义4：设A1, A2, , An是n个事件，如果对 任意的1ij n有P(A