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人教版八年级数学(上),12.3角平分线的性质,不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法?,再打开纸片 ,看看折痕与这个角有何关系?,(对折),情境问题,1、如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?,情境问题,A,D,B,C,E,如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?,2、证明: 在ACD和ACB中 AD=AB(已知) DC=BC(已知) CA=CA(公共边) ACD ACB(SSS) CAD=CAB(全等三角形的 对应角相等) AC平分DAB(角平分线的定义),尺规作角的平分线,观察领悟作法,探索思考证明方法:,A,画法:,以为圆心,适当长为半径作弧,交于,交于,分别以,为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么OC是角平分线呢?,O,想一想:,已知:OM=ON,MC=NC。 求证:OC平分AOB。,证明:在OMC和ONC中, OM=ON, MC=NC, OC=OC, OMC ONC(SSS) MOC=NOC 即:OC平分AOB,1平分平角AOB 2通过上面的步骤,得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系? 3结论:作平角的平分线即可平分平角,由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。,实践应用(1),探究角平分线的性质,(1)实验:将AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?(已知:OC平分AOB ,P是OC上的点,PDOA,PE OB,求证:PD=PE),(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明:OC平分 AOB (已知) 1= 2(角平分线的定义) PD OA,PE OB(已知) PDO= PEO(垂直的定义) 在PDO和PEO中 PDO= PEO(已证) 1= 2 (已证) OP=OP (公共边) PDO PEO(AAS) PD=PE(全等三角形的对应边相等),已知:如图,OC平分AOB,点P在OC上,PDOA于点D,PEOB于点E 求证: PD=PE,探究角平分线的性质,(3)验证猜想,角平分线上的点到角两边的距离相等。,(4)得到角平分线的性质:,利用此性质怎样书写推理过程?,思考: 要在区建一个集贸市场,使它到公路,铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处米,应建在何处?(比例尺 1:20 000),解: 作夹角的角平分线OC, 截取 OD=2.5cm ,D即为所求。,反过来,到一个角的两边距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?,已知:如图,QDOA,QEOB, 点D、E为垂足,QDQE 求证:点Q在AOB的平分线上,思考,证明: QDOA,QEOB, QDO和QEO都是直角, 在RtQDO和RtQEO中 QOQO(公共边) QD=QE (已知) RtQDORtQEO(HL) QODQOE 点Q在AOB的平分线上,已知:如图,QDOA,QEOB, 点D、E为垂足,QDQE 求证:点Q在AOB的平分线上,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。, QDOA,QEOB,QDQE 点Q在AOB的平分线上,用几何语言表示为:,角平分线上的点到角两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,练习:在ABC中,D是BC的中点,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F,且BECF。 求证:AD是ABC的角平分线。,如图:在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB,实践应用(2),分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即RtCDF RtEDB.,现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件,DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.,试试自己写证明。你一定行!,小结与作业,一、过程小结: 情境观察作图应用探究再应用,二、知识小结: 本节课学习了那些知识?有哪些运用?你学了吗?做了吗?用了吗?,回味无穷,定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. OC是AOB的平分线, P是OC上任意一点PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知) PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA,QEOB,QDQE 点Q在A
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