鸽笼原理习题及解答.ppt

第三章鸽笼原理,习题及解答,1、在一中学A班有50名学生，其中年龄最小的是15岁，最大的是18岁。证明这个班中至少有两个学生是同年同月生的。,证：从15岁到18岁之间总共有48个月，将这48个月看成笼子，将50个学生看成鸽子，5049=48+1，根据鸽笼原理，将50只鸽子放进48个笼子，必定至少有一个笼子放有2只及以上的鸽子，即这个班中至少有两个学生是同年同月生的。,另证： 5049=4（13-1）+1 故由鸽笼原理推论知： 至少有一盒子中放有13个物体，即至少有13个人是同年生的； 而13=12（2-1）+1，至少有一个盒子放入2个物体。 即至少有2个人是同月生的。 所以这个班中至少有两个学生是同年同月生的。,2、 某一制造铁盘的工厂，由于设备和技术的原因只能将生产盘子的重量控制在a克到（a+0.1）克之间。现需要制成重量相差不超过0.005克的两铁盘来配制一架天平，问该工厂至少要生产多少铁盘才能得到一对符合要求得铁盘。,解：将铁盘按重量分类，所有a克到a+0.005克的分为第一类，a+0.005克到a+0.01克的分为一类，a+0.01克到a+0.015克的又为一类，.，最后，a+0.095克到a+0.1克为一类，共计20类，由鸽笼原理知，若该工厂生产21个铁盘，那么就能得知有两个铁盘属于同一类，因而它们之间的重量差将不超过0.005克。,3、 在3 *4的长方形内任意放置7个点，则其中至少有两点的距离 。,提示：分成6个1*2的小矩形，至少有一个小矩形中落入两点。,4、在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。,解：每列着色的方式只可能有2*2=4种，现有5列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式相同。,5、任给五个整数，则必能从中选出三个，使得它们的和能被3整除。,解：设5个数为a1,a2,a5，又设ai被3除后所得余数为bi(i=1,.,5)， 当然，0 =bi=2, 于是可将0，1，2看做三个盒子，将b1,b2,.b5看做5个物体。 于是可分为三种情况：,a.若两个盒子是空的。 b.有一个盒子是空的， c.三个盒子都不空。 对于a: b1,b2,.b5 放于同一盒子中，即这5个余数是相同的，任选三个，它们所对应的ai的和必能被3整除。 对于b: b1,b2,.b5 放于另外两盒子中，必有一盒子中至少有三个物体，即b1,b2,.b5 中必有三个放入同一盒子中，选这三个对应的ai ，其和必能被3整除。 对于c: 每个盒子中选一个，将其对应的ai 相加，其和也必然能被3整除。,6、一个学生打算用37天总共60学时自学一本书，他计划每天至少自学1学时，证明：无论他怎样安排自学时间表，必然存在相继的若干天，在这些天内其自学总时数恰好为13学时。,解：设a1是第一天自学的时数，a2是第一，二天自学的时数的和，aj是第一，二， ，第j天自学时数的和，j=1,2,37 于是，序列a1，a2，.，a37是严格递增序列(每天至少一学时)，而且， a1=1，a37=60 于是序列 a1+13，, a37+13 也是严格递增的序列 且a37+13=73,故74个数 a1，,a37 , a1+13，, a37+13 都在1和73这73个整数之间， 由鸽笼原理知，这74个数中必有两个是相等的，由于a1，a2，.，a37中任何两数都不相等，故a1+13，, a37+13中任何两个数也是不相等的，因此，一定存在两个数i,j使得 ai=aj+13 ai- aj=13 因此，在j+1,j+2,i这些天中，这个学生自学总时数恰好为13学时。,7、已知 n个正整数a1，a2，.，an,证明：在这n数中总是可以选择两个数使得这两个数的和或差能被n 整除。,解：每个正整数被n除所得的余数必是0，1，2，.,n-1中的一个，n个余数中如果有两个相同，则相对应的两个正整数相减能被n整除。否则，n个余数为0，1，2，n-1，则对应的余数为i与n-i的两个正整数，其和能被n整除。,8、设a1，a2，.，an是1，2，,n的一个排列，证明：如果n是奇数，则乘积（a1-1）（a2-2）( an-n) 是一个偶数。,证明：因为n是奇数，故1，2，.,n中共有 个奇数，故a1，a2，.，an，1，2，,n中共有 =（n+1）个奇数,放入n个盒子中，必有两个在同一盒子中，其差为偶数，故该结论成立。,另证：（反证法） 假设（a1-1）（a2-2）( an-n) 是一个奇数，则它的每一项都是奇数，则与1，3，5，n对应的a1，a3，a5，an 都应为偶数（因为只有奇偶数对应相减才能得奇数），则这样的偶数共有 个。 而由于n是奇数，则在1，2，3，n中共有 个偶数，而a1，a2，a5，an为1，2，n的一个排列，它的偶数个数应与1，2，3，n的偶数个数相等，即也为 个。这与假设推出的有 个偶数矛盾。故假设不真，即 （a1-1）（a2-2）( an-n) 是一个偶数。,9、 证明：在任意52个整数中，必存在两个数，其和或差能被100整除。,证明：设52个整数a1，a2，.，a52被100除的余数分别为r1，r2，.，r52（看成鸽子） ,而任意一整数被100除可能的余数为0，1，2，.,99，共100个，它可分为51个类：0，1，99，2，98，49，51，50。将51个类看成笼子，则由鸽笼原理知，将52 个余数放入51个类中，至少