逆概、差概、和概、条概、积概与全概公式(2h).ppt

华中科技大学文华学院,概率论与数理统计,2010年9月11月,数学教研室 梁幼鸣Home）,Mobil）,第一章,初等概率概要,2 逆概、差概、和概、条概、积概、与全概公式,退出,（含多和概、多积概与贝叶斯公式）,知识点、考点举要,一基本概念,二基础概率公式,退出,六,三,范例、思考与练习,二,和概与多和概公式,积概与多积概公式,退出,四,条件事件与条件概率,一,可列互斥公理与逆概、差概公式,五,全概率公式与贝叶斯公式,2 逆概、差概、和概、条概、积概、与全概公式,退出,返回,若,则,一、可列互斥公理与逆概、差概公式,1. 可列互斥公理内容回顾,互斥事件的和概等于各事件的概率之和，即,2. 可列互斥公理的直接推论,（事件之概恒等于 1 减逆概）,（不可能事件的概率为零）,母子差概公式,退出,返回,证 , 若,且有,则,母子差概等于母概减子概,3. 差概公式,且,非母子差概等于被减概减积概,证 ,故,证毕.,一、可列互斥公理与逆概、差概公式, 任给二事件 A 与 B , 恒有,证毕.,且有, 依母子差概公式，,非母子差概公式,退出,返回,和概等于概率之和减积概,和概公式, 任给二事件 A 与 B , 恒有,1. 和概与简单多和概公式, 任给三事件 A , B 与 C , 恒有,多和概公式,证 ,且, 依可列互斥公理，,证毕.,二、和概与多和概公式,多和概等于概率之和交错地减、加递增的同数量级多积概,证毕.,退出,返回,和概公式, 任给二事件 A 与 B , 恒有,1. 和概与简单多和概公式, 任给三事件 A , B 与 C , 恒有,多和概公式,证 ,二、和概与多和概公式,多和概等于概率之和交错地减、加递增的同数量级多积概,二、和概与多和概公式,退出,返回,2. 一般意义下的多和概公式,二、和概与多和概公式,退出,返回,3. 多和概公式与可列互斥公理的关系,多和概公式是可列互斥公理的推广，可列互斥公理是,多和概公式的特例事实上，若事件两两互斥，自然有,因前提事件 A 在条件事件 B | A 中所扮演的是相对样本空间的角色, 所以通常的事件 B 则可如法炮制地理解成前提事件是绝对样本空间的条件事件 B | .,事件 B 附加了以事件 A 的发生作为自身发生的强制性前提时称为条件事件, 并记成 B | A . 条件事件 B | A 的发生概率P ( B | A ) 就称为条件概率.,设事件 是样本空间为 的随机试验中的,退出,返回,2.条件事件与条件概率的概念,1. 样本空间的相对性,用相对而非绝对的观点理解样本空间,二、条件事件与条件概率,某事件. 若事件B 以事件A 的发生作为其发生的前提, 那么事件 A 又可视为以事件 B 作为样本空间的新随机试验中的随机事件. 为方便表述起见, 可称事件 A 是事件 B 的相对样本空间 , 而称 是 B 的绝对样本空间.,三、条件事件与条件概率,例3-1 盒内7 件产品中有一等品5件，二等品2件. 不放回地连取两件产品，以 Ai 记 “ 第 i 次取一等品 ”的事件( i =1,2 ). 试求: 头次取一等品的概率 ； 头次、二次都取一等品的概率 ； 头次已取一等品, 二次再取一等品的概率.,其实是有着细微差别的不同事件!,这说明, “两次都取一等品” 与 “头次已取一等品, 二次还取一等品 ” ，,退出,返回,解,头次取一等品后再取产品，等价于去掉某一等品后再从剩余中取产品.,变形(分子分母同乘相对样本空间) 以模仿Laplace公式计算概率,三、条件事件与条件概率,例3-1 盒内7 件产品中有一等品5件，二等品2件. 不放回地连取两件产品，以 Ai 记 “ 第 i 次取一等品 ”的事件( i =1,2 ). 试求: 头次取一等品的概率 ； 头次、二次都取一等品的概率 ； 头次已取一等品, 二次再取一等品的概率.,退出,返回,另解 ,解,条概等于积概与前提概之商,退出,返回,同样,3. 基于绝对样本空间的条件概率计算公式,三、条件事件与条件概率,条概等于积概与前提概之商,退出,返回,1. 基于条件概率的两因子积概公式,积概等于条概乘以前提概,四、积概与多积概公式,2. 基于条件概率的三因子积概公式及其推演法,退出,返回,3. 多因子积概公式及其推演法,一般情形下,多因子积概等于以各因子依次做结局、其前所有结局之积做前提的条概之积 .,四、积概与多积概公式,五、全概率公式与贝叶斯公式,（全概率公式）, 组内两事件与 内任一事件B 的乘积之和恒等于,互逆事件组的优良特性包括：, 组内两事件的和与积是“极端事件”， 即,从而,1. 互逆事件组及其优良特性,退出,返回,该任一事件B ，并且各乘积事件之间彼此互斥，即,以及,从而,五、全概率公式与贝叶斯公式,（全概率公式）, 组内各个事件与 内任一事件 B 的乘积之和恒等,完备事件组的优良特性包括：, 组内全部事件之和以及任二之积皆“极端事件”, 即,从而有,2. 从对立事件组到完备事件组,退出,返回,于该任一事件B ，并且各乘积事件之间彼此互斥，即,以及,五、全概率公式与贝叶斯公式,（全概率公式）,3. 全概率公式与贝叶斯概率公式,退出,返回,（贝叶斯概率公式）,五、全概率公式与贝叶斯公式,因此，对样本空间中的任一事件B ，将恒有,事件组， 组内的任二事件彼此互斥，且有,4. 全概率公式的证明,退出,返回,证,即,故依可列互斥公理，自然有,证毕., A1，A2， An构成样本空间 内的完备,五、全概率公式与贝叶斯公式,只要事件 B 拥有众多的不同属性 ，而这些属性,组，即 组内的任二事件彼此互斥，且满足,5. 全概率公式的应用提示,退出,返回,那么，事件B 不仅可分解成具有这些互斥属性的子,A1，A2， An 恰能构成样本空间 内的完备事件,而且其发生概率也是各子事件的概率之和，即,事件之和，即有,五、全概率公式与贝叶斯公式,只要事件 B 拥有众多的不同属性 ，而这些属性,组，即 组内的任二事件彼此互斥，且满足,3. 全概率公式的应用提示,退出,返回,那么，不仅事件B 可分解成具有这些互斥属性的子,A1，A2， An 恰能构成样本空间 内的完备事件,而且其发生概率恰为各子事件的概率之和，即,事件之和，即有,退出,返回,1. 根据基础概率公式间接地计算未知概率,例6-2 已知 试求,例6-1 已知 试求,解,解,六、范例、思考与练习,又,例6-3 若 P (AB) = 0.1 , P (AB) = 0.7 , P (A) = 0.5 .,解,或者,退出,返回,算例拾遗,1. 根据基础概率公式间接地计算未知概率,六、范例、思考与练习,试求P (B) 与 P ( AB ) .,例6-4 A 和 B 是两任意的事件 ，求如下概率之值：,解,（1999 ）,退出,返回,1. 根据基础概率公式间接地计算未知概率,六、范例、思考与练习,试比较 与 的大小.,例6-5 A 和 B 是两任意的事件 , 但,解,（2006 ）,退出,返回,1. 根据基础概率公式间接地计算未知概率,六、范例、思考与练习,例6-6 若 则,退出,返回,证,而依差概公式,故,证毕.,2. 根据基础概率公式推证概率等式和不等式,六、范例、思考与练习,例6-7 A , B 和 C 是三任意事件 . 试证：,证,故,证毕 .,退出,返回,2. 根据基础概率公式推证概率等式和不等式,六、范例、思考与练习,例6-7 A , B 和 C 是三任意事件 . 试证：,故,另证,即,证毕 .,退出,返回,2. 根据基础概率公式推证概率等式和不等式,六、范例、思考与练习,退出,返回,3. 运用基础概率公式解决实际问题,解,于是，,记 “第 j 次抽奇数卡 ”为A j ( j = 1, 2 ), 则“第 j 次抽偶数卡”为,或者,或者,例6-8 五卡片分别记有数字 1，2，3，4，5 . 从中一次,一卡地无放回连抽两卡. 试求： 头次抽奇数卡的概率;, 头次已抽偶数卡，后次抽得奇数卡的概率., 后次抽奇数卡的概率; 仅后次才抽奇数卡的概率;,六、范例、思考与练习,退出,返回,解,于是，,记 “第 j 次抽奇数卡 ”为A j ( j = 1, 2 ), 则“第 j 次抽偶数卡”为,3. 运用基础概率公式解决实际问题,六、范例、思考与练习,例6-8 五卡片分别记有数字 1，2，3，4，5 . 从中一次,一卡地无放回连抽两卡. 试求： 头次抽奇数卡的概率;, 头次已抽偶数卡，后次抽得奇数卡的概率., 后次抽奇数卡的概率; 仅后次才抽奇数卡的概率;,（3） 5人生日不都在星期天的概率.,例6-9 有一 5 人的学习小组. 求,（2） 5人生日都不在星期天的概率；,（1） 5人生日都在星期天的概率；,解,记第 i 个人的生日在星期天的事件为Ai ，则,退出,返回,3. 运用基础概率公式解决实际问题,六、范例、思考与练习,例6-10 掷一 均匀硬币直至累计出现 3 次正面为止. 求,（2） 正好第 6 次为止时第 5 次也是正面的概率.,（1） 正好掷第 6 次时为止的概率；,解,记掷第 i 次时累计出正面 j 次的事件为 H i,j ，则 i j 1 , 且,退出,返回,3. 运用基础概率公式解决实际问题,六、范例、思考与练习,例6-11 5% 的男人与0.25%的女人是色盲. 从等额的男,女人中随机选出的一人居然是色盲. 求其恰为男人的概率.,解,记所选之人为男人的事件为 M ，是色盲的事件为 B , 则显然,于是，选出的色盲恰为男人的概率,退出,返回,3. 运用基础概率公式解决实际问题,六、范例、思考与练习,例6-12 两人约定上午9:00-10:00在公园会面. 求一人会,等另一人半小时以上的概率.,解,记两人到达的时间分别为9点 x 分和9点 y 分，则 0 x, y 60 , 且,从而二人可能会面的样本点以及一人会等另一人的样本点( x, y ) 将分别充,充满下图中的正方形以及正方形内的两等腰直角三角形.,于是，以A 记一人等另一人半小时以上的事件，则,退出,返回,3. 运用基础概率公式解决实际问题,依概率的几何定义,六、范例、思考与练习,例6-13 兵乓球盒内15 球 9 球新. 头次任取 3 球试拍 , 试完后放还,盒内. 二次试拍时再任取 3 球 .求二次所取 3 球皆新的概率.,解,记第一次试拍曾取 i 个新球的事件为 N i，则 i =0, 1, 2, 3 , 且,再记第二次试拍所取 3 球皆新的事件为 A，则显然,退出,返回,3. 运用基础概率公式解决实际问题,六、范例、思考与练习,概率统计练习册 第一章 基础练习三、基础练习四 批改题 P5P6： 16. 18. P7P8： 23. 25. 29.,退出,返回,六、范例、思考与练习,17 (1) 时,15 (1)不恒成立 (2)恒成立 (3)不恒成立 (4)恒成立,(2) 即 时 ,(2) (3),(4) (5),16 (1),退出,返回,P5P6参考答案,六、范例、思考与练习,18 (1) (2),19 (1) (2),21 以D表军火库起爆, Ai 表第 i 库被炸中, 则,20 以A2表能被2整除, A5 表能被5整除, 则,退出,返回,P5P6参考答案,六、范例、思考与练习,23 (1) (2),24 (1),22 (1)正确 (2)正确,(2),(3),25 A表“产品为正品”, B 1 , B2 表“从甲、乙盒抽产品”, 则, A1 , A2 表“头次二次抽奇数卡”,P7P8参考答案,六、范例、思考与练习,26,27,29 “次”表次品, “甲”、“乙”表取自甲、乙车间, 则,28 F 表被感染, A、B、C 表来自A、B、C 地区, 则,P7P8参考答案,六、范例、思考与练习,您真的要退出吗？,Yes,No,多媒体研制组,二0一0年九月,概率论多媒体课件,Exit,退出,返回,三者都不发生的概率，其中已知,解,例6-14 求事件 A、B 与 C 至少发生其一的概率, 以及,算例拾遗,退出,返回,以 Ai （i = 1, 2, 3）记 “ 透镜第 i 次落地而碎 ” , 那,例6-15 透镜落地即碎的概率为 1/2, 头次不碎而二次碎的概率为 7 / 10, 头次二次皆不碎、但第三次再碎的概率为 9 / 10. 试求落地后三次都不碎的概率.,解,么“ 透镜第 i 次落地不碎 ”,就应记为,于是，,计算复杂事件概率最要紧的第一步，就是善于 把复杂事件分解成足够简单的事件, 再用最经济的符号体系做出表记,“ 透镜落地 3 次都不碎 ”的事件即,可见,算例拾遗,计算复杂事件概率最值得关注的基本技巧之一，就是善于 借助事件的对立事件（或逆事件）, 从根本上简化实际运算的工作量,退出,返回,以 Ai 记 “抽第i 件是次品”, 则拒购的事件即,例6-16 采购员对厂家100件声称