量子力学中的力学量.ppt

第三章 量子力学中的力学量,第4(5)节 厄米算符本征函数的正交性,定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。,定理：厄米算符的本征值是实数,定理2：若厄米算符某个本征值存在k个不同(线性无关)本征函数，则必可从它们的线性组合中选择k个彼此正交的（本征）函数。,显然k维子空间V中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数,第4(5)节 厄米算符本征函数的正交性,根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如 一维无限深势阱,动量算符本征函数,角动量算符本征函数,一维线性谐振子,氢原子,波函数,第5(6)节 算符与力学量的关系,前面提到，系统处于力学量算符(厄米算符)的本征函数描述的状态(本征态)，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：,展开系数,称为几率幅,注意展开系数满足,第5(6)节 算符与力学量的关系,测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。因此，测量的平均值是,平均值公式,例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布,第5(6)节 算符与力学量的关系,例题 (p101 3.6题)设t=0时，粒子处于状态 求此时粒子的平均动量和平均动能,平均动能,平均动量,平均动能,第5(6)节 算符与力学量的关系,例题 (p101 3.7题)一维运动粒子的状态是 归一化常数A=? 若粒子的能量为E,求系统的势能。 动量的几率分布函数 平均动量,动量的几率分布函数,平均动量,实际上，平均动量一看就知道为零,第5(6)节 算符与力学量的关系,平均能量,实际上，平均能量可以非常方便地计算出,能量本征函数和能量本征值是,能量的几率分布,第5(6)节 算符与力学量的关系,是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数,氢原子定态波函数,第5(6)节 算符与力学量的关系,2个有用的定理,H-F定理 系统处于束缚定态，则,维里定理 系统处于束缚定态，若势能是次齐次函数,则,由前面的定理,第5(6)节 算符与力学量的关系,由维里定理得,动量几率分布,例题 一维谐振子处于能量本征态 1)求势能的平均值。 2)求动能的平均值。3)求动量几率分布,例题 p100的3.2题 氢原子处于基态 1)求r的平均值。 2)求势能的平均值。3）最可几半径(前面已讲，略)。 4) 求动能的平均值。5)求动量几率分布(前面已讲，略)。,该题当n=0时就是p100的3.1题,由维里定理得,第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,两个算符乘积一般与次序有关,定义对易式,坐标算符与动量算符的对易式,基本对易关系,同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系,其它(有经典对应的)物理量的对易关系可从基本对易关系导出,例如角动量算符的对易式,对易式的公式,对易,两力学量算符对易两力学量同时有确定值的条件,不对易,定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集,第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集,若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态,则这两个力学量同时有确定值,注意：两个力学量不对易=没有共同构成完全系的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！,例如，,两力学量算符对易两力学量同时有确定值的条件,第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,测不准关系,不对易情况,若2个厄米算符F,G满足对易关系,定义2个新厄米算符,定理 两个力学量算符满足对易关系,则它们满足测不准关系,引入非负积分,厄米算符 ：,第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,定理 两个力学量算符满足对易关系,则它们满足测不准关系,Heisenburg(也称为基本)测不准关系,这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问,例题：,第6(7)节 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,注意线性谐振子束缚态必定有确定宇称,例题： Heisenburg测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在,第7(8)节 力学量平均值随时间的演化 守恒定律,力学量平均值,其中归一化波函数满足(含时)薛定谔方程,若力学量算符不显含时间,则,如果力学量算符不显含时间,守恒量,又满足,第7(8)节 力学量平均值随时间的演化 守恒定律,空间平移不变=动量守恒,空间平移不变=,转动不变=角动量守恒,时间平移不变=能量守恒,时间平移不变=,系统转动不变=,空间反演不变=宇称守恒,第3节 氢原子习题,习题 书中第三章3.13.9 前面都已讲过！,习题 书中第三章3.10题球形腔中的运动，求能级与能量本征函数,定态薛定谔方程变为,球贝塞尔方程,球贝塞尔函数,球贝塞尔函数与贝塞尔函