数学选修1--2课件2.2.1.2.ppt

第2课时 分 析 法,1.理解分析法的意义，掌握分析法的特点. 2.能用分析法证明数学问题.,1.本课时重点是利用分析法证明数学问题. 2.本课的难点是分析法的理解与综合运用.,分析法,结论,出发,充分条件,定理,定义,公理,1.分析法就是从结论推向已知，这句话对吗？ 提示：不对.分析法又叫逆推证法，但不是从结论推向已知，而是寻找使结论成立的充分条件的过程.,2.分析法是合情推理还是演绎推理？ 提示：分析法是演绎推理.因为分析法的每一步都是严密的逻辑推理，因此得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”.,3.要证明AB,若用作差比较法，只要证明_. 【解析】要证AB,只要证A-B0. 答案：A-B0,4.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到角A为钝角的结 论，则三边a，b，c应满足的条件是a2_b2+c2(填“” “”“”“”). 【解析】a为最大边且abc， 要想角A为钝角，只需cosA0， 即 只需要b2+c2a2，也即a2b2+c2. 答案：,1.分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”.由求证走向已知，即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件，或者是可以证明的条件.,用分析法思考数学问题的顺序可表示为： (对于命题“若A则D”),即从D上溯寻其论据，如C，C1，C2等，再寻求C，C1，C2的论据，如B，B1，B2，B3，B4等，继而寻求B，B1，B2，B3，B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件A，那么命题得证.,2.综合法与分析法的区别及优缺点 (1)区别：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件. (2)优缺点：综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点，综合法从条件推出结论，能较简捷地解决问题，但不便于思考；分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁.,用分析法证明不等式 【技法点拨】 用分析法证明不等式的三个关注点 (1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式等.,(2)分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件. (3)分析法为逆推证明.因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要证，只要证，只需证，显然成立，所以成立”.,【典例训练】 1.(2012聊城高二检测)求证： 2.(2012中山高二检测)已知a0,b0，求证：,【证明】1.要证 只要证 即 只需证 即证4240, 因为4240显然成立， 所以 成立.,2.a0,b0, 要证 成立， 只需证 成立， 只需证 只需证 只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b), 只需证a2-2ab+b20,只需证(a-b)20, 而(a-b)20显然成立，则原不等式得证.,【互动探究】请用综合法证明题2. 【证明】a0,b0,【思考】1.从例题证明过程中能否提炼出“要证明ab,只要证 明a2b2”? 2.分析法一般在什么情况下使用？ 提示：1.不能.在分析法的步骤中，寻找的是充分条件，而 a2b2 ab,但当a0,b0时，a2b2ab成立.,2.当题目已知条件与结论之间的联系不明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，一般采用分析法.,【变式训练】已知非零向量ab，求证： 【解题指南】本题含有绝对值符号，可用分析法通过变形、平 方证明.,【证明】 要证 只需证 平方得 只需证 成立， 即 显然成立. 故原不等式得证.,分析法证明立体几何问题 【技法点拨】 分析法证明立体几何问题的三个关注点 (1)主要依据：立体几何中直线、平面的位置关系、定义、判定定理、性质定理以及一些推论. (2)立体几何中某些结论成立的充分条件很多，要结合题目背景加以认真分析.,(3)分析法证明的模式(若p则q形式)是： 要证明q命题为真， 只需证命题p1为真,从而有 只需证命题p2为真，从而有 只需证命题p为真，而已知p为真，故q必为真.,【典例训练】 1.对于不重合的直线m，l和平面，要证明，需要具备的条件是( ) (A)ml,m,l (B)ml,=m,l (C)ml,m,l (D)ml,l,m,2.如图，SA平面ABC，ABBC， 过点A作SB的垂线，垂足为点E； 过点E作SC的垂线，垂足为F.求 证：AFSC.,【解析】1.选D.A：与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；B：平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系也不能确定；C：这两个平面也有可能重合；D是成立的，故选D.,2.要证AFSC，而EFSC， 故只需证SC平面AEF， 只需证AESC，而AESB， 故只需证AE平面SBC， 只需证AEBC，而ABBC， 故只需证BC平面SAB，只需证BCSA. 由SA平面ABC可知，SABC，即上式成立. 所以AFSC成立.,【思考】 (1)用分析法证明数学问题必须遵循什么原则？ (2)要证明某命题B成立时，需要证的条件唯一吗？举例说明. 提示：(1)用分析法证明数学问题，必须遵循分析法步骤步步可逆的原则. (2)不唯一.如本题1中D能得出，如果改成条件“a,a”，也能推出.,【变式训练】如图，AB为O的 直径，C为O上一点，PA平 面ABC，A在PB，PC上的射影分 别为E，F，求证：PB平面AFE.,【证明】要证PB平面AFE(因为AEPB)， 只要证AFBC(因为AF平面PAC)， 只要证BC平面PAC， 而AB为直径，ACBC， 只需证BCPA(因BC平面ABC)， 只要证PA平面ABC， 因为PA平面ABC为已知条件， 故PB平面AFE.,分析法与综合法的综合应用 【技法点拨】 分析综合法的特点及证明思路 (1)根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分析综合法,或称“两头凑法”.,(2)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系，分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点.,(3)综合法和分析法常常交叉使用.其证明模式可用框图表示如 下： 其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结 论.,【典例训练】 1.证明函数 是奇函数. 2.(2012中山高二检测)ABC的三个内角A，B，C成等差数 列，且角A，B，C的对边分别为a，b，c,求证：(a+b)-1+ (b+c)-1=3(a+b+c)-1.,【证明】 恒成立， 的定义域为R， 要证函数 是奇函数， 只需证f(-x)=-f(x), 只需证 只需证 而log21=0.上式成立. 故函数 是奇函数.,2.方法一：(分析综合法) 要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1成立， 即证 成立， 即 化简得,又需证c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c), 即c2+a2=b2+ac. 又ABC的三个内角A，B，C成等差数列， 所以B60. 由余弦定理,得 所以a+c2-bac,所以原命题成立.,方法二：(综合法) 因为ABC三个内角A，B，C成等差数列，所以B60. 由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos60， 即c2+a2=ac+b2, 两边同时加(ab+bc),得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 两边除以(a+b)(b+c)，得,所以 即 所以(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.,【互动探究】若把本题2的结论当条件，试证明：B 【证明】(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1， 即 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), b2=a2+c2-ac, 又B(0,),B=,【想一想】根据分析法和综合法的特点，应该怎样使用这两种方法证明数学问题？ 提示：根据分析法有利于思考，便于找到解题突破口，综合法宜于表述的特点，证题时常用分析法寻找解题思路，即从结论出发，逐步缩小范围，进而确定我们所需要的“因”，再用综合法有条理地表述证明过程.,【变式训练】若a,b,c是不全相等的正数，求证： 【解题指南】对于含有对数的不等式往往先利用对数的运算性 质去掉对数，然后再证.,【证明】要证 只需证 只需证 又因为 且上述三式中的等号不全成立， 所以 因此，,【规范解答】分析法的应用 【典例】(12分)(2012临沂模拟)已知a0,b0,2ca+b,求证:,【解题指导】,【规范解答】要证 只需证 3分 即证 5分 只需证 6分 只需证a2-2ac+c2a2+ab,9分 因为a0,所以只需证2ca+b.10分 因为2ca+b成立. 所以原不等式成立.12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)用分析法证明等式： 【解题设问】(1)是否要先分析待求式，把它化为不含分母的 等式？_. (2)解答中需要应用基本关系式吗？_.,是,需要,【规范答题】要证 2分 只需证sin2x=(1-cosx)(1+cosx),5分 只需证sin2x=1-cos2x.7分 因为sin2x=1-cos2x显然成立，9分 所以 12分,1.分析法是从要证的结论出发，逐步寻求结论成立的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)等价条件 【解析】选A.由分析法的定义可知，应选A.,2.要证 成立，a，b应满足的条件是( ) (A)abb (B)ab0且ab (C)ab0且ab或ab