A3(第九章第1、2、3节).ppt

高等数学 A三,Tel: 66132415,崔洪泉 F-608,第九章 向量代数与空间解析几何,1 向量及其线性运算,一、向量概念,有向线段箭头所指的方向就是向量的方向。,向量：,有大小也有方向的量。,一向量起点 M1，终点 M2 ，,M1,M2,则向量可用有向线段,或,表示。,称为,向量的模,零向量：,单位向量：,平行向量：,相等向量：,自由向量：,模为 1 的向量，,与始点位置无关的向量。,可保持大小、方向不变进行平移。,以下研究的向量均为自由向量。,两向量的方向相同或相反。,且方向一致。,同理可定义多个向量共面。,平行向量也称共线向量。,向量夹角：,s,把其中一向量绕 s 旋转，使其方向,与另一向量的方向重合，这个旋转,的角度 ，,显然，,记作,或,若把一条轴 u 看作向量，,类似可定义向量与轴 u 的夹角,或空间两轴 u1, u2 的夹角,空间一点 A 在轴 u 上的投影:,过点 A 作垂直于轴 u 的平面,则平面与轴 u 的交点 A,称为点 A 在轴 u 上的投影。,. A,. A,u,u,. A,. B,记为,上的投影。,取正；,取负。,记作, 轴 u 称为投影轴。,定理1：,u,A.,.B, 投影定理,u,与平行四边形法则。,二、向量的线性运算,1. 加减法,三角形法则,向量的加法运算满足交换律与结合律。,n 个向量的相加可记为,如三个向量的相加,类似方法可以定义两个向量的减法。,2. 数乘,( 仍是一向量 ),向量数乘满足结合律与分配律。,三、空间直角坐标系,在平面直角坐标系中，,点 M1 (x1, y1),M2 (x2, y2), 平面两点间的距离公式,由三条互相垂直的数轴按右手,规则组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,空间直角坐标系,向径,在直角坐标系下,坐标轴上的点 P, Q, R;,坐标面上的点 A, B, C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,在空间直角坐标系中:,点 M1 (x1, y1, z1),M2 (x2, y2, z2),在 x 轴上的投影为:,在 y 轴上的投影为:,在 z 轴上的投影为:,x,y,z,0,M2(x2, y2, z2),M1(x1, y1, z1),坐标。,分向量或投影向量。, 数量, 向量,方向角。,方向余弦。,方向余弦：,由投影定理，,为方向余弦的坐标表示式。,满足：,利用坐标进行向量的加减法和数乘运算：,定义了向量的加法和数乘运算后，,可以证明投影定理的推广形式：,定理2：,定理3：,有关向量的一些结论：,(1) 向量数乘满足消去律：,(3),例 题,例1：,解：,记为,例2：已知两点 和,以及实数 在直线 AB 上求点 M，使,x,y,z,A,M,B,0,解：,如图所示，,因此,从而,由于,因为,所以,即M点坐标为,定比分点,课 外 作 业,习题 9 1(A),3, 5, 8, 9, 11,习题 9 1(B),2, 3,一、向量的数量积,向量的数量积与向量积是向量特有的运算, 它们并不是凭空想象出来的, 而是从物理模型中抽象出来的, 有它们各自的实际意义。,例：,力对物体所作的功,2 向量的数量积 向量积 混合积,W =,1. 定义,，数量积又称为点积或内积。,的乘积，,数量积。,记作,即,说明：,数量积是一个数量（而不是向量）。,(1),(2),数量积的正负取决于,(3),前例中的功可表示为,2. 几何意义,由此又得到,投影公式：,同理，,一个向量的模和另一个向量在这个向,数量积的几何意义：,量方向上的投影的乘积。,3. 基本性质及其运算规律,性质：,(1),(2),注：,零向量方向任意,可省略。,(3),基本单位向量的正交性,= 1 ，,= 0 .,记为,运算规律,交换律,分配律,结合律,注意：数量积运算不满足消去律。,也不一定有,下例就可以说明这种情况：,4. 数量积的坐标表示法,由此可得：,=,=,=,=,的三个方向角，,的三个方向角，,显然，,例 题,例1. 已知,求向量,与,的夹角。,解：,例2. 应用向量证明不等式：,的条件。,证：,即：,并指出等号成立,当且仅当,时等号成立。,即,课 外 作 业,习题 9 2(A),1, 3, 4,习题 9 2(B),5, 8, 11,二、向量的向量积,向量积是两个向量的又一种乘积，也是,向量特有的运算,也有其物理模型：,设 O 为杠杆 L 的支点，,L,P 点，,P,O,H,的大小的乘积。,在实际中是非常有用的。,即右手四指从 OP 握向 F 时, 大拇指的指向为,这样由两个向量来确定另一个向量的法则,1、定义,(1),(2),向量积，,记作, 向量积又称为叉积或外积。,按“右手法则”垂直于 所在平面的,单位向量。,2、几何意义,(1),向量积,平行四边形的面积。,显然，,(2),按“右手法则” 垂直于 所在平面，,则必有：,(3),3、性质与运算规律,性质：,(1),= 0,(2),零向量方向任意,可省略。,(3) 基本单位向量的向量积,运算规律：,(1),不满足交换律,(2),满足分配律,(3),满足结合律,满足反交换律,注：向量的向量积不满足消去律,例如，,但,4、向量积的坐标表示法,补充：有关行列式的计算,法 1 ：,法 2 ：,行列式的有关性质：,_,例 题,例1:,(4) 以 a, b 为邻边的平行四边形的面积 S 。,解：,(1),1 0 -1,-1 -2 1,(2),(3),(4),求此三角形的面积, AB 上的高及 A 的正弦。,例2:,已知三角形 ABC 的顶点坐标为,A ( 1, 2, 0 ), B ( 3, 0, -3 ), C ( 5, 2, 6 )，,解：,？,求 AB上的高及 A的正弦。,AB上的高 h,h,= 14 ，,例3：,解：,例4：,求证：A, B, D 共线 。,证：,分析：,即 A, B, D 共线 。,思 考 题,4. 向量 0, 0, 5 与 2, 0, 10 是否共线？,否,否,否,否,否,是,三、向量的混合积,1.定义,所得数量称为,混合积，,或数量三重积，记作,2. 坐标表示式,3. 几何意义,为棱的平行六面体的体积。,h =,一般地，有,定理1：三个向量中如果有一个为零向量， 或者有两个共线，或者三个共面， 则其混合积必为零；反之亦然。,定理2：假定三个非零向量中任何两个都 不共线，则其共面的充要条件是 它们的混合积为零。,4. 混合积的性质,(1),(2),(3),(4),(5),轮换对称性,例：已知不在一平面上的四点,求四面体 ABCD 的体积。,解：,所以有,上式中符号的选择必须和行列式的符号一致。,课 外 作 业,习题 9 2(A),6, 9, 13,习题 9 2(B),2, 9, 10, 13,3. 平 面 及 其 方 程,一. 平面的点法式方程,法向量：,由立体几何知识可知：,过一点可作且只能作一张平面垂直于一,已知直线。,若一非零向量垂直一平面，则称,该向量为这平面的法线向量。,所以已知一点与一法向量（直线）就可 唯一确定一平面。,注意：法向量不唯一,简称法向量。,作向量,已知平面 上一点 M0 (x0 , y0 , z0) 及,平面的法向量,建立 的方程。,. M0,在平面上任取一点 M (x, y, z),M .,显然，,= 0 ，,即有, 平面的点法式方程,例：一平面过点 M(1, 0, -1) 且平行于向量,试求这个,解：,所以所求平面方程为：,即,平面方程。,二. 平面的一般式方程,由平面的点法式方程的展开式可得:,其中 A，B，C 不同时为零,任一平面都可用点法式方程来表示，,反之, 设有三元一次方程,以上两式相减, 得平面的点法式方程,程称为平面的一般式方程.,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程(*)与此点法式方程等价,的平面, 此方,因此方程(*),的图形是法向量为,任意一个三元一次方程都表示一个平面。,反之, 设有三元一次方程,(*),例：求过三点,的平面方程。,解一：,设所求平面方程为,则,所以,即,解二：,所以所求平面方程为：,即,先求平面的法向量,此平面的方程 也可写成,一般情况:,过三点,的平面方程可表示为,说明:,平面一般式方程的几种特殊情形：, 若 D = 0，,表示一通过原点的平面。,现在考虑 A，B，C，D 中有一些为零的情形：,若 C = 0，,表示一平行于 z 轴的平面,同理，,B = 0,A = 0, 若 A = B = 0，,表示一平行于xoy 平 面的平面。,同理，,/ yoz 平面,/ xoz 平面,若 B = C = 0，,若 A = C = 0，,平面过 x 轴，,若 A = D = 0，,若 B = D = 0，,平面过 y 轴，,若 C = D = 0，,平面过 z 轴，, 若 A = B = D = 0，,同理，,若 A = C = D = 0，,若 B = C = D = 0，,归纳起来，得：,（1） 在平面的一般方程中，如果常数 项不是零，且缺一个变量，则平面一 定平行于该变量所对应的坐标轴；如 果缺两个变量，则平面一定平行于该 两个变量所对应的坐标面。,（2） 在平面的一般方程中，如果常数 项是零，且缺一个变量，则平面一定 过该变量所对应的坐标轴；如果缺两 个变量，则平面一定是这两个变量所 对应的坐标面。,例：已知一平面平行于 x 轴且经过两点,解：,设所求平面方程为：,则,所以,即,因为平面经过两点 (4,0,-2) 和 (5,1,7)，,(4,0,-2) 和 (5,1,7)，求此平面方程。,例：求通过 x 轴和点 (4,-3,-1) 的平面方程。,解：,设所求平面方程为,则,所以,则,所以所求平面方程为,因为平面通过点 (4,-3,-1)，,平面的截距式方程,设一平面与 x, y, z 三轴分别交于,求此平面方程。,a,b,c,分别将三点代入平面一般式方程, 平面的截距式方程,其中 a, b, c 分别称为平面在 x, y, z 轴上的截距。,注意：,过原点或平行于坐标面的平面无截,距式方程形式。,例 题,例：,解一：,设平面上一点,则三向量共面，,即为所求方程。,x y z,1 1 1,2 4 -3,解二：,为平面上两向量，,则平面上法向量,即为所求方程。,三、有关平面的一些问题,1. 两平面的夹角,两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角。,（通常指锐角，包括零度角或直角）,例：求平面,与 xoy 坐标面的夹角。,解：,所以所求夹角的余弦为,所以