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误差理论与测量平差基础,Errors Theory and Foundation of Surveying Adjustment,课程结构,Ch1,Ch2,Ch3,Ch8,Ch5,Ch6,Ch7,Ch9,Ch10,Ch4,2,Ch1 绪论,教材 误差理论与测量平差基础 误差理论与测量平差基础习题集 武汉大学出版社,3,Ch1 绪论,怎样学好测量平差,预习、复习加习题练习,独立思考并推导公式,平差思想和解题思路,高数 线代 概率,习题练习,公式推导,数学基础,习题练习,公式推导,平差思想,平差思想,数学基础,4,Ch1 绪论,为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现 照错目标 读错数 如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。 2. 有多余观测，如何消除不符，求出最优值？,5,Ch1 绪论,测量平差的任务和意义 任务 1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值； 2）评定结果的精度。 意义 所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测绘科学和技术的基础和灵魂。,6,Ch1 绪论,测量平差的作用和地位 1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求出最佳估值。 2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法的主要补充。 3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、GPS测量原理、变形监测等。 4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶段的重要课程。,7,Ch1 绪论,课程结构 参见目录,8,Ch1 绪论,基本概念 误差 对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。 测量平差 测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。,9,1.1 观测误差,一、误差来源 测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。 观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。 外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。,10,1.1 观测误差,二、误差分类 偶然误差 在相同误差在大小和符号上表现出偶然性 系统误差 误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化 粗差 即错误,11,1.1 观测误差,12,1.2 测量平差的研究对象,研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误差或粗差，或两种兼有。 平差问题的解决思路：,13,1.3 测量平差简史及发展,1794年，C.F. Gauss从概率统计角度提出了最小二乘法 1806年，A.M. Legendre从代数角度提出了最小二乘法 1809年，Gauss在天体运动的理论一文中发表，称为Gauss- Legendre方法 1912年，A.A. Markov，对最小二乘原理进行了证明，形成数学模型（函数模型+随机模型） 近代发展 现在的国内相关专家,14,1.4 本课程的任务和内容,本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶然误差的观测值。 （1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估计；权。 （2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。 （3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。 （4）测量平差中的统计假设检验方法。,15,本章结束！,16,Ch2 误差分布与精度指标,17,2.1偶然误差的规律性,基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测误差仅为随机误差。 偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大量误差进行统计具有明显的规律。 寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析)： 1、统计表 2、直方图 3、误差分布,18,统计表,例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,19,所有面积之和=k1/n+k2/n+=1,直方图,20,2.1偶然误差的规律性,偶然误差的特性 由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性： 1、有界性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零 2、聚中性：绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 3、对称性：绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 4、抵偿性：偶然误差的理论平均值为零，即,21,2.1偶然误差的规律性,例2：在相同的条件下独立观测了421个三角形的全部内角，每个三角形内角之和应等于180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。,22,0.475,提示：观测值定了其分布也就确定了，因此一组观测值对应相同的分布。不同的观测序列，分布不同。但其极限分布均是正态分布。,图1,图2,23,当偶然误差的个数 时，偶然误差出现的频率就趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。,24,2.2正态分布,由概率论知，该曲线是正态分布的概率分布曲线。高斯在研究误差理论时最先使用了这一分布，所以正态分布又称为高斯分布。测量上通常将正态分布作为偶然误差的理论分布。或者说偶然误差服从正态分布。其密度函数为： 式中： 和 为参数。,2.2正态分布,25,由密度函数 知，偶然误差 为正态随机变量。所以又称偶然误差为随机误差。 下面来看参数 和 是什么。 对正态随机变量 求数学期望：,2.2正态分布,26,作变量代换，令 得 因,2.2正态分布,27,2.2正态分布,所以 再求 的方差 。 同样作变量代换，可得：,28,由以上推导知，参数 和 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们确定了正态分布曲线的形状。 由 知，随机误差 的数学期望等于零。 由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个拐点在横轴上的坐标为 方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐标。,29,2.2正态分布,2.3精度及其衡量精度指标,观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的大小。 1、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差协方差阵描述。 2、准确度：描述系统误差，可用观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即： 3、精确度：是精度和准确度的合成，描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可用观测值的均方误差来描述，即： 当 ，即观测值中不存在系统误差和粗差时，亦即观测值中只存在偶然误差时，均方误差就等于方差，此时精确度就是精度。,30,精度、准确度和精确度的形象描述,2.3精度及其衡量精度指标,31,精度,准确度,精确度,4、衡量精度的指标 精度虽然可以通过直方图或分布曲线的形状来描述，但在实际工作中很麻烦，且不能用一个数字来衡量其高低。为此，人们希望通过一个数字来偶然误差的离散程度。能反映偶然误差的离散程度的数字称为衡量精度的指标。这样的数字很多，比如： 4.1、方差和中误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ，则其方差定义为：,2.3精度及其衡量精度指标,32,2.3精度及其衡量精度指标,方差的算术平方根定义为中误差，即 在实际工作中，n总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估值： 和,33,4.2、平均误差 设在相同的观测条件下得到一组独立观测误差 ，则其平均误差由 之绝对的数学期望定义，即： 因为 所以,2.3精度及其衡量精度指标,34,由上式知，不同的 ，对应着不同的 ，于是就对应着不同的误差分布曲线。所以平均误差 也可作为衡量精度的指标。 在实际工作中，既可通过以上等量关系来计算平均误差的估值： 也可由下式计算之：,2.3精度及其衡量精度指标,35,4.3、或然误差 当观测误差出现在 之间的概率等于二分之一时，称 为或然误差（如图），即 令 ，则有 由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系：,2.3精度及其衡量精度指标,36,2.3精度及其衡量精度指标,中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精度的指标，但由于 当n不大时，中误差比平均误差更能反映大误差的影响 中误差具有明确的几何意义（分布曲线的拐点坐标） 平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系 所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。,37,2.3精度及其衡量精度指标,4.4、极限误差 由中误差的定义知，中误差是一组同精度观测误差的平方的平均值的平方根的极限。既然是平均值，就会有的观测误差的绝对值比中误差大，有的观测误差的绝对值比中误差小。那么，绝对值比中误差小的观测误差出现的概率是多少？绝对值比中误差大的观测误差出现的概率又是多少呢？由下图，通过积分,38,2.3精度及其衡量精度指标,可得观测误差 出现在给定区间 内的概率为：,作变量代换，得k=1，2，3时的概率分别为：,上式表明：绝对值大于中误差的观测误差出现的概率为31.7%；绝对值大于二倍中误差的观测误差出现的概率为4.5%；绝对值大于三倍中误差的观测误差出现的概率仅为0.3%。即观测误差的绝对值一般不会大于三倍中误差。因此，实际工作中通常以三倍中误差作为观测误差的极限，并称为极限误差，用 表示。,39,4.5、相对误差 观测值的中误差与观测值本身之比，称为相对误差，常用表示 。,2.3精度及其衡量精度指标,40,本章小结,1、几个基本概念及相互关系,41,2、一个事实 不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。 3、基本假设 在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差为服从正态分布的随机误差。 4、统计规律 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，即超过一定限值的偶然误差出现的概率为零； 绝对值较小的偶然误差比绝对值较大的偶然误差出现的概率大； 绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同； 偶然误差的理论平均值为零。,本章小结,42,本章结束！,43,Ch3协方差传播律及权,44,3.1观测向量及其方差协方差阵,作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量。 因此，需要引入观测向量矩阵和方差协方差矩阵。 一、协方差 对于变量X、Y，其协方差为：,45,3.1观测向量及其方差协方差阵,二、协方差阵 设有n维观测向量为 则其方差协方差阵定义为： 特点：对称；正定；互不相关时为对角矩阵，对角线元素相 等时，为等精度观测。,46,3.1观测向量及其方差协方差阵,三、互协方差阵 设有两组观测向量为， n维的X，r维的Y。则，它们的互协方差阵为：,47,思考：若 求DZZ？,3.2协方差传播律,1、协方差传播律的作用 计算观测向量函数的方差协方差矩阵，从而评定观测向量函数的精度。 2、预备公式 当随机变量 两两独立时，有,48,3.2协方差传播律,3、观测向量线性函数的方差 设观测向量X及其期望和方差为： 观测向量线性函数为 式中： 为常数。,49,3.2协方差传播律,Z的期望为 Z的方差为 即 展开成纯量形式：,50,例题1 例题2 例题3,51,3.2协方差传播律,4、多个观测向量线性函数的协方差阵 若观测向量的多个线性函数为 则令,52,3.2协方差传播律,于是，观测向量的多个线性函数可写为 。 故有 式中： 为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数 其矩阵形式为：,53,3.2协方差传播律,则有： 而 同理：,54,3.2协方差传播律,5、多个观测向量非线性函数的协方差阵 基本思想：a、用全微分代替全增量，得到函数误差表达式（线性近似）；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为： 对上式求全微分，得,55,令 则由误差传播定律得：,56,3.2协方差传播律,由以上推导知，求非线性函数的方差协方差矩阵比求线性函数的方差协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。 例题6 例题7,57,6、应用协方差传播律时应注意的问题 （1）根据测量实际，正确地列出函数式； （2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值； （3）计算时注意各项的单位要统一； （4）将微分关系写成矩阵形式； （5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。,3.2协方差传播律,58,3.2协方差传播律,协方差传播律的应用 1、水准测量的精度 2、算术平均值的精度 3、若干独立误差的联合影响 4、平面控制点的点位精度 点位方差：,59,权的概念 权是表征精度的相对指标，指观测值所占的比重，精度越高，比重越大。 权的定义 权与方差成反比 权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。 示例1,3.3权及定权的常用方法,60,3.3权及定权的常用方法,权的特点 （1）选定一个 ，即有一组对应的权； （2） 不同，权不同，但权之间的比值不变； （3）同一个问题中只能选一个 ，不能选多个，否则就破坏了权之间的比例关系。 （4）只要事先给定观测条件，就可确定权的数值。 单位权中误差的概念 权为1的观测值所对应的中误差，称为单位权中误差，即 。,61,3.3权及定权的常用方法,定权的常用方法 1、水准测量的权 1）按测站数确定 2）按路线长度确定 2、同精度观测值之算术平均值的权,62,N：每段路线的测站数,S：各水准路线的长度,N：观测值的观测次数,1、协因数与协因数阵 协因数即为权倒数。,3.4协因数和协因数传播律,63,特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，为单位阵。,3.4协因数和协因数传播律,即有： 协因数阵也称为权逆阵。,64,3.4协因数和协因数传播律,2、协因数传播律 称为协因数传播律，或权逆阵传播律。与协方差传播律合称为广义传播律。 3、权倒数传播律,65,3.4协因数和协因数传播律,全微分 例题10 ：算术平均值之权等于观测值之权的n倍。 例题11 ：带权平均值的权等于各观测值权之和。 例题12：,66,4、单位权中误差的计算 用不同精度的真误差计算单位权中误差的公式如下： 实际应用 1）由三角形闭合差求测角中误差,67,菲列罗公式,本章小结： 1、方差协方差矩阵的定义 2、协方差传播律 （线性和非线性） 3、应用协方差传播律所应注意的问题 4、权与定权的常用方法 5、协因数和协因数传播律,Ch3协方差传播律及权,68,测试题,3-1 已知单位权方差为 、观测值 的权矩阵为 试求： 1、 的方差 2、 的方差 3、 与 的协方差,69,测试题,3-2 某地块由一梯形和一个半圆形组成，如图所示。已知观测值a=12m、b=8m、c=10m的方差协方差矩阵为： 试求该地块的面 积S的方差 。 （注：取 ）,70,本章结束！,71,72,条件平差 间接平差 附参数条件平差 附条件间接平差,随机模型 函数模型 函数模型线性化,参数估计 最优估计的性质 最小二乘原理,Ch4最小二乘原理,73,4.1平差函数模型,函数模型 描述观测量与未知量间的数学函数关系的模型 目的：最优估计函数模型的未知量 函数模型如何构造？,必要观测、多余观测 1）确定平面三角形的形状 观测三个内角的任意两个即可,称其必要元素个数为2，必要元素有 种选择,74,必要观测、多余观测 2）确定平面三角形的形状与大小 6个元素中必须有选择地观测三个内角与三条边的三个元素，因此，其必要元素个数为3。任意2个角度+1个边、2个边+1个角度、三个边。,4.1平差函数模型,75,必要观测、多余观测 3）确定如图四点的相对高度关系 必须有选择地观测6个高差中的3个，其必要元素个数为3。h1、h5、h6或h1、h2、h3或h1、h2、h4等,4.1平差函数模型,必要观测: 能够唯一确定一个几何模型所必要的观测 一般用t表示。,特点: 给定几何模型，必要观测及类型即定，与观测无关。 必要观测之间不能有任何函数关系，即相互独立。,76,多余观测: 观测值的个数n与必要观测个数t之差 一般用r表示，r=n-t。,观测值: 为了确定几何模型中各元素的大小进行的实际 观测，称为观测值，观测值的个数一般用n表示。,nt,，可以确定模型，还可以发现粗差。,4.1平差函数模型,必要观测可以唯一确定模型，其相互独立。可见若有多余观测必然可用这t个元素表示，即形成r个条件。,实际上：,4.1平差函数模型,78,函数模型 1、条件平差 以条件方程为平差函数模型的平差方法 2、间接平差 以观测方程为平差函数模型,或,或,4.1平差函数模型,79,4.1平差函数模型,3、附有参数的条件平差 以含有参数的条件方程为平差函数模型 4、附有条件的间接平差 以观测方程和约束参数的条件方程为平差函数模型,或,条件方程的综合形式为：,为了线性化，取X的近似值：,取 的初值：,将F按台劳级数在X0，L处展开，并略去二次以及以上项：,4.2平差数学模型非线性函数线性化,模型形式与线性函数类似。,82,用平差值代替真值,4.2平差数学模型,83,4.2平差数学模型,平差数学模型是平差函数模型和随机模型的综合体。,表达模型并用于求未知量最佳估值,用于评定精度 方差 协方差,4.3参数估计与最小二乘,不论何种平差方法，平差最终目的都是对参数和观测量作出某种估计，并评定其精度，统称为对平差模型的参数进行估计。 一、参数估计 测量平差的参数估计，是要在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为最终估计。 最终估计值应具有最优的统计性质。,84,4.3参数估计与最小二乘,二、最优估计的性质 1、无偏性 为参数 的估计量，若有 则称 是 的无偏估计量 2、一致性 若估计量同时满足 则称 是 的严格一致估计量,85,4.3参数估计与最小二乘,3、有效性 若 是 的无偏估计，具有无偏性的估计量并不唯一。如果对于两个无偏估计量 和 ，有 则称 比 有效。 若 此时为最有效估计量。,86,4.3参数估计与最小二乘,三、最小二乘原理 例：作匀速运动的质点在时刻 的位置是 ，函数如下： 在不同时刻 测定质点位置，得一组观测值 由运动方程可得： 或 用图解表示如图：,87,4.3参数估计与最小二乘,从图中看到，由于存在观测误差，由观测数据绘出的点不成直线。 采用什么准则对参数 和 进行估计，从而使估计直线最佳地拟合于观测点？ 一般应用的是最小二乘原理，使各观测点到该曲线的偏差的平方和达到最小，即： 或 或 满足上式的估计称为最小二乘估计，此方法称为最小二乘法。,88,本章结束！,89,Ch5 条件平差,90,在测量中，为了能及时发现错误和提高测量成果的精度，常做多余观测。 如果一个几何模型中有r个多余观测，就产生了r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法，就是条件平差。,5.1条件平差原理,91,5.1条件平差原理,函数模型 或 随机模型 未知数个是n，由于nr，所以条件方程是不定方程，如何求解？ 平差准则,如何求V值？,92,5.1条件平差原理,一、基础方程及其解 按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新函数 求偏导，并令其等于0，以获得极值 导出 改正数方程 1、基础方程,（1） 两式称为条件平差的基础方程 （2）,n+r 个方程，n+r个未知数,93,5.1条件平差原理,2、法方程及其组成 令 3、求解并计算观测量最佳估值,解出2,代人改正数方程求出V,94,5.1条件平差原理,二、条件平差的求解步骤 （1）分析问题，根据具体问题列条件方程r个； （2）组成法方程，个数r个 ； （3）解法方程，求出联系数K； （4）将K代人改正数方程，求出V； （5）求观测值的平差值 （6）检核。,95,5.1条件平差原理,三、实例练习 水准网如右图：观测值及其权阵如下： m,96,5.1条件平差原理,解：分析问题,条件方程 法方程 法方程的解,97,5.1条件平差原理,按（5）求改正数V： 求观测值的平差值： 检核：,98,5.2 条件方程的列立,列条件方程的原则 1、足数；2、独立；3、最简,如何列立条件方程？,首先确定条件方程的个数 分析：n=9 t=4 r = n-t =9-4=5,99,5.2 条件方程的列立,水准网,三角网(测角网),三边网(测边网),GPS基线向量网,单一附合导线,条件方程,条件方程线性化,100,5.2 条件方程的列立,水准网的条件方程 水准网的分类及水准网的基准 有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。 水准网中必要观测数t的确定（保证足数） 有已知点：t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一 水准网中条件方程的分类 附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件,101,5.2 条件方程的列立,水准网中条件方程的列立方法 （1）先列附合条件，再列闭合条件； （2）附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数等于已知点的个数减一； （3）闭合条件按小环列立（保证最简），对于无重叠图形的水准网，网中有多少个小环，就列多少个闭合条件； （4）对于有重叠图形的水准网，可先拿掉造成重叠图形的观测值，变为（3）中的情况，然后再加上拿掉的观测值，每加一个观测值就加一个包含此观测值的条件。 在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程，一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。,102,5.2 条件方程的列立,水准网条件方程列立举例,103,5.2 条件方程的列立,104,5.2 条件方程的列立,105,三角网(测角网)的条件方程,三角网的观测值 三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。 三角网的作用 确定待定点的平面坐标。 三角网的类型 单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形 三角网的基准数据 在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系。在平面坐标系中，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。,106,三角网(测角网)的条件方程,三角网中必要观测数 t 的确定 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2（z -2）, z为三角网中的总点数。 三角网中条件方程的类型 图形条件（内角和条件）：三角形三内角和等于180度； 圆周条件（水平条件）：圆周角等于360度； 方位角条件：由一个已知方位角推至另一已知方位角； 极条件（边长条件）：由不同推算路线得到的同一边的边长相等。,107,三角网(测角网)的条件方程,7、三角网中条件方程的列立举例 图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。 图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。,108,三角网(测角网)的条件方程,图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周 条件，一个极条件。 由以上三例知，三 角形只有图形条件；大 地四边形有图形条件和 极条件两类条件；只有 中点多边形才有全部的 三类条件。,109,三角网(测角网)的条件方程,用一般符号列出图4的条件方程：n=33,110,三边网(测边网)的条件方程,三边网(测边网)的条件方程 1、三边网的观测值 三边网的观测值也很简单，全部是边长观测值。 2、三边网的作用 也是确定待定点的平面坐标。 3、三边网的类型 单三边形、大地四边形、中点多边形、组合图形 4、三边网的基准数据 三边网与三角网的区别是观测值。由于在三边测量中，观测值中带有长度基准。所以，三边测量中不需要长度基准。因此三边网的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 ），即三个基准。,111,三边网(测边网)的条件方程,5、三边网中必要观测数 t 的确定 有足够的基准数据：t =2m，m为待定点点数； 无足够的基准数据：t =2z - 3, z为三角网中的总点数。 单三角形： t =2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四边形：t =2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中点N边形： t =2（N+1） 3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式表明：在测边网中，单三角形不存在条件，大地四边形和中点多边形都只一个条件。故测边网中条件方程的个数等于大地四边形和中点多边形的个数之和。 6、三边网中条件方程的列立 可按角度闭合、也可按边长闭合、还可按面积闭合列立。 按角度闭合：,112,GPS基线向量网三维无约束平差条件方程,1、GPS基线向量网的观测值： 一条基线三个观测值，他们是 ,n=3s，s是基线数。 2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t 三个坐标基准x、y、z 。必要观测数为t=3(m-1) ，m 为总点数。所以条件方程的个数为：r=3（s-m）+3 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立 按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最简的原则。,113,GPS基线向量网三维无约束平差条件方程,4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 图1 图2 图1中r =3（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下： 图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。,114,GPS基线向量网三维无约束平差条件方程,4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例 n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42,115,单一附合导线,1、导线的观测值 导线的观测值由角度和边长两类观测值组成。 2、单一附合导线的形状 3、单一附合导线的必要观测数 t =2m，m为待定点点数。,116,单一附合导线,4、单一附合导线的条件方程个数 观测值的个数：角度m+2个；边长m+1个；观测值总数 n=2m+3个。 条件方程个数： r = n-t = 2m+3- 2m=3 即不论待定点点数m为多少，单一附合导线的条件方程个 数固定为3。 5、单一附合导线的条件方程 一个方位角条件 两个坐标条件,117,非线性条件方程的线性化,1、问题的提出 由前面列出的条件方程知，水准网平差、三维无约束平差中的条件方程，以及三角网平差中的图形条件和圆周条件、单导线中的方位角条件等都是线性方程。而极条件、坐标条件等都是非线性条件。因为条件平差中要求条件方程必须为线性形式，所以，平差前必须将非线性条件转化为线性条件。这一转化工作称为非线性条件方程的线性化。 2、线性化的方法 将非线性条件方程按台劳级数展开，略去二阶以上各项，即得条件方程的线性形式。,118,非线性条件方程的线性化,设非线性条件方程为： 为了将其按台劳级数展开，将观测值的平差值写为观测值加改正数的形式，即： 于是，有 令,119,非线性条件方程的线性化,于是，非线性条件方程 的线性形式为： 3、几种非线性条件方程的线性形式 极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：,120,非线性条件方程的线性化,两边同乘 ，得化简后的线性形式为： 单一附合导线的坐标条件：,121,非线性条件方程的线性化,上图的纵坐标条件为： 式中 是方位角平差值和边长平差值的函数，即 将上式按台劳级数展开，略去二阶以上各项，得 由于 故,122,非线性条件方程的线性化,所以纵坐标条件方程为： 因为 所以纵坐标条件方程的最终形式为：,123,非线性条件方程的线性化,同理可得横坐标条件方程的最终形式为： 式中 一般地，单一附合导线的坐标条件方程的最终形式为： 式中,124,非线性条件方程的线性化,测边网条件 在测边网中，按角度闭合时条件方程为： 对于以上按角度表示的条件方程，可以用余弦定理解出各个角度，再按台劳级数展开可到其线性形式。但习惯上却是先导出角度改正数与边长改正数的关系，然后代入 为此，下面来推导角度改正数与边长改正数的关系。,125,非线性条件方程的线性化,如图，由余弦定理知： 微分得： 由图知,126,非线性条件方程的线性化,故有： 将微换成改正数，并将弧度换 成角度，得： 上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律： 任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的 高，并乘以常数 。 按此规律，可得：,127,非线性条件方程的线性化,大地四边形 将其代入 ，得,128,非线性条件方程的线性化,中点多边形 将其代入 ，得,129,非线性条件方程的线性化,在计算图形条件的系数和闭合差时，一般取边长改正数的 单位为cm，高的单位为km， 取2.0626，此时闭合差w的 单位为秒。由观测边长计算系数中的角值，可按余弦定理或 下式计算 式中 高按下式计算,130,5.3 条件平差精度评定,1、观测值L的精度 2、单位权方差的估值 3、 的计算 （1）直接计算 （2）用常数项与联系数,131,5.3 条件平差精度评定,4、观测值函数的协因数 条件平差中的基本向量W、K、V、 都是观测向量L的函数，且 由于观测向量L的协因数 已知，所以应用协因数传播律可得：,132,5.3 条件平差精度评定,133,5.3 条件平差精度评定,134,5.3 条件平差精度评定,令 则,135,5.3 条件平差精度评定,5、平差值函数的协因数 经条件平差后得到了观测值的平差值，需要提交的却是控制点的坐标或高程的平差值，他们都是观测值的平差值函数。因此，有必要研究平差值函数的协因数。 设平差值函数的协因数为： 对其全微分，得：,136,5.3 条件平差精度评定,式中 为用观测值L算出的偏导数值。 于是，应用协方差传播律可得： 所以，平差值函数的中误差为：,137,5.4公式汇编及示例,一、条件平差及其目的 二、条件平差原理 三、总结了条件平差的步骤 （1）根据具体问题列条件方程式， （2）组成法方程式， （3）解法方程； （4）计算改正数V， （5）求观测值的平差值 ； （6）检核； （7）精度评定,138,5-1水准网如图所示，共观测了14段高差，问该水准网按条件平差应列多少个条件方程？试写出符合条件方程。,测试题,139,5-2 三角网如图所示，问： 1、该网按条件平差共有 几个条件方程？ 2、各类条件方程各有多 少个？ 3、写出该网中中点多边 形极条件的线性形式。,测试题,140,5-3 水准网如图所示， 、 独立观测值及各路线长度如下，试按条件平 差求待定点的高程 和 。 序号 观测值 路线长 1 0.213m 2.0km 2 0.456m 2.0km 3 0.240m 1.0km 4 1.234m 1.0km 5 0.992m 3.0km,测试题,141,附：列条件方程时所遇到的实际问题,一、问题的提出 由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（nt）的条件平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。,142,附：列条件方程时所遇到的实际问题,例如，在下图所示的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。,143,附：列条件方程时所遇到的实际问题,二、问题的解决方案 为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作为参数。例如图中选择 作为参数。设选择了u个参数，则原来的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由于选择了 作为参数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如下图，若以A点为极，则极条件为：,144,固定边条件为（由AC推算AB）： 或 根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平 差，称为附有参数的条件平差。 下面，我们就来学习附有参数的条件平差。,附：列条件方程时所遇到的实际问题,145,本章结束！,146,Ch6附有参数的条件平差,147,附有参数条件平差原理,6.1附有参数的条件平差原理,一般地，附有参数的条件平差的函数模型为： （1） 式中V为观测值L的改正数， 为参数近似值 的改正数。其系数矩阵的秩分别为 。其随机模型为： （1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的改正数样 ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为 c = r + u。由于m c = n r = t 0，所以（1）式是一组具有无穷多组解的不定方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使 的一组解。为此，下面就来求解这组解。,148,1、基础方程及其解 为了求得解能使 的一组解，按求函数之条件极值的方法，组成新函数： 式中K是对应（6-1）式的联系数向量。 为了求函数 的极小值，将其分别对V和 求一阶导数，并令其为零，即,6.1附有参数的条件平差原理,149,亦即 （2） 将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条件平差的基础方程： （3） 将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得：,150,6.1附有参数的条件平差原理,令 则 (4) （4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为 ，且 ，所以 是满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是， 用 左乘（4）式的第一式，可得： (5) 再以 左乘（4）式的第一式，顾及第二式，得：,151,6.1附有参数的条件平差原理,令 （6） 则有 （7） 因为 ,且 ，故 是满秩的对称方阵，其凯利逆存在。于是，由（7）式得： （8） 将（5）式和（8）式同时代入（2）式的第一式，得： （9） （8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。,152,6.1附有参数的条件平差原理,2、附有参数的条件平差的计算步骤 由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下： （1）根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参数的条件方程（1）式。 （2）组成法方程（4）式。 （3）按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数 和观测值L的改正数V。 （4）按计算观测值和参数的平差值。 （5）用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。,153,6.1附有参数的条件平差原理,3、 举例 某三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知边。其已知数据为： 各角的同精度独立观测值见表1。现选 的最或是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平差值和参数的平差值。,154,6.1附有参数的条件平差原理,表1,155,6.1附有参数的条件平差原理,本例中n = 6，t = 3，r = 3，u = 1，故c = r + u = 4 由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。这4个条件如下：,156,6.1附有参数的条件平差原理,取 ，将非线性条件线性化后，得条件方程为： 由于为同精度独立观测，故 。于是由（4）式得法方程为：,157,6.1附有参数的条件平差原理,6.1附有参数的条件平差原理,解得： 由此可得观测值和参数的平差值为： 检核略。,158,1、单位权方差的估值 在附有参数的条件平差中，单位权方差的估值仍为： （10）,6.2精度评定,159,2、基本向量的协因数矩阵,6.2精度评定,160,3、平差值函数的中误差 设平差值函数为： 对其全微分，得权函数式为： 式中： 应用协因数传播律，得： 于是，平差值函数的中误差为：,161,6.2精度评定,小结： 1、为了某种需要，选择参数； 2、每选一个参数，就增加一个条件方程，选择 u 个参数，就增加 u 个条件方程； 3、条件方程的总数为c = r + u； 4、单位权中误差的计算公式不变； 5、求平差值函数的中误差时，应将平差值函数分别对观测值的平差值和参数求偏导数。,162,6.3本章总结及示例,举例： 水准网如图所示： 1、按条件平差列出误差方程。 2、选 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 3、选 和 高程平差值为参数，列出全部条件方程。,163,6.3本章总结及示例,解：1、由图知，n = 5，t = 2，故r = n-t = 5-2 =3。即三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条件： 2、选 高程平差值为参数 ，则有u =1，c = r+u =4,即：,164,6.3本章总结及示例,3、选 和 高程平差值为参数 和 ，则u =2，c=r+u=3+2=5=n，此时有： 由上式（4）、（5）式可得：,165,6.3本章总结及示例,将（6）式代入（1）式，得： 将（6）、（7）式代入（2）式，得： 将（8）、（9）式代入（3）式，得： 令：,166,6.3本章总结及示例,则有， 令 则有: 上式表明，当所选参数刚好等于必要观测数t，且参数之间相互独立时，附有参数的条件平差具有很简洁的条件方程。这种简洁的条件方程描述了各观测值的改正数与参数之间的关系，我们称这种关系为误差方程。以误差方程为基础可得到一种新的平差方法间接平差。下面就来学习这种新的平差方法。,167,6.3本章总结及示例,本章结束！,168,Ch7间接平差,169,7.1间接平差原理,1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程，其一般形式为 式中： 且,170,2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同，即 ， 3、基础方程及其解 误差方程的个数为观测值的个数n，而未知数的个数为n+t n。所以误差方程为超定方程组，故有无穷组解。而满足 的解只有一组。由于向量V是向量 的函数，按数学上求自由极值的方法有：,7.1间接平差原理,171,转置后得： 将此式与误差方程联立，得间接平差的基础方程为： 基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。 为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得 因为 ，所以上式有唯一解。 令,7.1间接平差原理,172,则 由上式解出参数 后，代入误差方程可得到改正数V。进而可求得观测值的平差值： 4、间接平差的计算步骤 （1）根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； （2）列出误差方程； （3）组成法方程； （4）解算法方程； （5）计算改正数V； （6）计算观测值的平差值,7.1间接平差原理,173,间接平差的关键是列误差方程，而列误差方程的关键是选择待估参数（未知数）。 1、待估参数的个数 在间接平差中，待估参数的个数等于必要观测的个数t。 2、待估参数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数关系容易写出来。,7.2误差方程的列立,174,3、不同情况下待估参数的选择及误差方程的列立 （1）水准网 在水准网平差中，通常选取待定点的高程平差值作为待估参数。 a、无已知点的水准网假定一点的高程已知，则选取其余t个点的高程平差值作为待估参数； b、有已知点的水准网选取t个待定点的高程平差值作为待估参数。 这样选取，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测值之间的函数关系，还可以直接得到各点高程的平差值。,7.2误差方程的列立,175,如图，选 于是有：,7.2误差方程的列立,176,令 ，则 式中：,177,例:水准网如图所示，已知 =5.000m， =3.953m， =7.650m。各点的近似高程为： 观测值见下表，试列出误差方程。,(m),(m),(m),7.2误差方程的列立,178,解：设 于是误差方程为：,7.2误差方程的列立,179,（2）GPS网三维无约束平差 在GPS网三维无约束平差中，常常选某点 i作为参考点，则该点在WGS84系下的三维坐标 、 、 可看作已知数据，其余各点作为待定点。在WGS84系下，要确定一个点的空间位置，需要X、Y、Z三个坐标分量，设GPS网中的总点数为m个，则必要观测数为 ，因此，可选 个点的坐标平差值作为参数。 如图，以A点为参考点，即 已知，则t个参数为：,7.2误差方程的列立,180,于是，误差方程为：,7.2误差方程的列立,181,（3）三角网 在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。 这样选，既足数，又独立， 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 地，角度观测值可由右图 表示，于是有：,7.2误差方程的列立,182,例如右图所示的大地 四边形，其必要观测 数为4，图中待定点坐 标也是4，故选：,183,7.2误差方程的列立,于是，误差方程为：,184,（4）三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即t