谈谈如何提高学生的高层次数学思维.ppt

1,改进教学设计,提高学生的高层次数学思维能力,鲍建生 华东师范大学数学系,,一、问题的提出,一些研究认为： 中国学生善于解决问题，但不善于提出问题； 中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题； 中国学生缺少批评性思维和创新意识； 中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？,你同意上述观点吗？,（相关研究：Brenner, Herman, Ho, Wang, J and Lin, E., 2005）,存在的问题,数学认知水平测试17年前后比较 （青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）,研究聚焦,如何提高学生的高层次数学认知能力？,4,二、研究思路,分析框架 基本假设 现状调查 聚焦课堂 实验设计,5,1、分析框架,概念界定,水平模型,分类模型,因素模型,指标体系,过程模型,布卢姆认知领域教育目标分类,7,威尔逊的目标分类（1989）,8,QUASAR的目标分类（ Stein & Smith, 1998 ）,9,青浦实验的目标分类,10,数学教学目标分类四层次架构,11,高层次数学认知能力的评价指标,12,发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题； 特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化； 解决非常规的和开放性的数学问题； 数学建模：分析出条件和结论间主要关系或重点步骤；形成假设或初步的数学模型； 严格的数学推理与证明。,2、基本假设,13,从目前国内外已有的研究结果来看，影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个： 学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动（如Huntley, Rasmussen, Villarubi, Sangtong, Van de Walle, 2004）。,3、现状调查,14,存在的问题：课程因素,15,教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）,中英期望课程的探究水平（鲍建生，2002）,中美初中数学课程在数学认知水平上的差异,数学认知水平,19,存在的问题：课堂教学,小步子：学生缺少数学探究的机会 赶进度：学生缺少数学探究的空间 套题型：学生缺少数学探究的意识 重技巧：学生缺少数学探究的策略 看分数：学生缺少数学探究的动力 牵着走：学生缺少数学探究的氛围,20,存在的问题：解题教学,教师只管自己讲，学生： 不理解； 不动脑筋； 缺乏兴趣 过分强调对题型的死记硬背； 过分强调解题的技巧，不重视通性通法； 简单问题复杂化； 题量太大，教师蜻蜓点水，学生一知半解； 对解题过程缺乏回顾和总结； 没有做到举一反三。,4、聚焦课堂,21,课堂,教,学,教学设计,教学行为,典型事件,教学机智,认知过程,教学设计,22,教学设计,目标分析,学情分析,任务分析,背景分析,导入设计,问题设计,情境设计,活动设计,5、实验设计,实验周期：3年，每年一轮。实验的基本假设是：,高认知水平的数学任务,针对高水平任务的有效的教与学方式,实验设计： （1）日常教学的渗透；（2）活动课；（3）课外长作业。 研究方法：（1）提升、保持、下降课堂教学数学认知水平的因素分析；（2）教学案例分析；（3）数学认知水平测试；（4）跟踪访谈；等。 实验班：实验学校的全体学生； 对比班：实验学校参与实验前的同年级学生。,24,三、预研究,教师问卷调查 学生数学认知水平的现状 影响学生数学认知水平的因素 提高学生数学认知水平的策略 学生认知水平的测试(五个方面单独测试) 教学案例分析 任务设计; 认知分析; 教学策略.,25,预研究：教学任务设计,发现问题、提出问题的能力 折纸中的数学 一次方程组的应用 一题多解 探究勾股数 模式构建 林福来提供的案例,26,什么是“好的”数学任务,一个好的数学任务必须： 是容易接受的（不需要大量的技巧） 有多种解题方法（或者至少有多种思路） 蕴涵了重要的数学思想（好的数学） 不故设陷阱(通性通法) 可以进一步开展和一般化（导致丰富的数 学探索活动）,匈菲尔德，1994,1、发现问题与提出问题,27,案例1：茅以升教学法,每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学生作答。,著名教育家陶行知先生曾亲自带领教育科学生来听茅以升的课，对他的教学方法评价很高，认为“这的确是个崭新的教学上的革命，是开创了我国教育的一个先例，值得推广”。,29,老师 我们在课前通过预习，基本掌握了一些关于函数奇偶性的知识，看看大家有没有发现什么问题呢，现在把它提出来，我们一起来讨论讨论吧。,有奇函数，有偶函数，那么有没有既奇又偶的函数呢？ 想知道奇偶函数运算结果的奇偶性 奇偶函数可不可以是分段函数呢？ 对奇偶函数的定义域有没有要求呢？ 怎么判断一个函数是奇偶函数呢？如果只验证一个只值满足定义能不能判断这个函数的奇偶性呢？ 正比例函数是一个奇函数，我想知道那么一般的一次函数呢？我们学过的二次函数呢？ 常值函数是不是奇函数或者是偶函数呢？ 奇偶函数在结构上有什么特征呢？,案例2：函数的奇偶性,学生提出的问题,2、折纸中的数学,30,案例1：正方形折纸,如图、图所示，一张正方形纸片ABCD，将B折至AD的中点E，折痕为FG将C折至AD的中点E，ML为折痕你能得到哪些结论？,图1,图,案例2：TIMSS操作性测试,32,给你9张白纸，一把剪刀和一个信封。你的任务是：用剪刀剪出下面给定的图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀：,要得到下面的图形，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出最后剪的这一刀：,案例3：等腰三角形的三线合一,33,3、一次方程组的应用,34,聪明的牧场主,15,12,11,牧场主麦克每周轮换使用他的三个相邻的牧场为了省钱，他运用所学的数学知识设计了三个合用的门，如图，每两扇门都能恰好关住一个牧场,一个具有灵气的基础案例,上海51中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向10层楼三根导线的电阻不同。如何测量？,他想到解联立方程,4、一题多解：等腰三角形的判定,证明等腰三角形的判定定理： 有两个内角相等的三角形是等腰三角形.,A,B,C,第1步：利用情境变式激发探究兴趣,A,原題 已知：B = C, 求证：AB = AC.,情境性变式：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的B 和 C）相等的三角形是等腰三角形”.但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的C和边BC. 请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？,B,C,第2步: 学生独立探究,问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗,第3步：证明定理,学生自己发现的不同证法：,证法2：过A作AD垂直于BC, 证明 ABD ACD,证法5：证明 ABC ACB,证法4：（反证法）： 假设ABAC, 那么 C B.,证法1：作A的平分线，然后证明：ABT ACT,錯誤!,解题三部曲,原始问题,5、探究勾股数,42,第一步：列出一些简单的勾股数组 （3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（10，24，26），- 第二步：寻找规律 整数乘以勾股数仍然是勾股数 在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个数a是奇数，那么弦等于大的一个数加1，并且a可以从3开始，取遍所有奇数 在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个是偶数，那么弦等于大的一个数加2 在互质的勾股数组中，弦是奇数 在互质的勾股数组中，勾股中的偶数与弦之和是一个平方数 任意一组互质的勾股数都可以表示为 （|m2 n2|，2mn，m2 + n2）,6、模式构建,如图是一个边长为3的大立方体，它由27个单位立方体组成，将大立方体的六个面都涂上同一种颜色，分别求恰有1面涂色、2面涂色、3面涂色以及没有被涂色的小立方体的个数； 如果是一个边长为4的立方体呢？ 如果是一个边长为5的立方体呢？ 如果是一个边长为n的立方体呢？,8,12（n - 2）,6（n - 2）2,（n - 2）3,7、高认知层次的数学活动(林福来),44,四、研究目标,构建涉及高层次数学认知能力的问题系列； 提炼促进学生高层次数学认知能力的教学策略。,45,46,高认知水平保持的七个要素,给思维和推理搭“脚手架”； 为学生提供元认知方法； 示范高水平的操作行为； 维持对证明、解释或意义的强调； 任务建立在已有知识基础上； 在概念间建立联系； 适当的探索时间。,47,高认知水平下降的六个因素,情境问题常规化，教师包办代替； 重点转移到追求答案的正确、完整，不注重意义、理解、概念获得等方面； 时间过多或过少； 课堂管理问题； 给学生的任务不恰当，指向不明； 教师对学生低层次结果或过程迁就。,从经验中学习,青浦实验（如变式教学） GX实验 基本图形分