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4.1.2函数的单调性和极值,(2)函数的极值,观察图形注意特点,1.极大值和极小值,(1).极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)， 就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值=f(x0)，x0是极大值点,(2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义， 如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0). 就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作 y极小值=f(x0)，x0是极小值点,说明,）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小,）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个,）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点,4. 判别f(x)是极大、极小值的方法:,若 满足 ，且在 的两侧的 导数异号，则 是 的极值点， 是极 值，并且如果 在 两侧满足“左正右 负”，则 是 的极大值点， 是极大 值；如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值,求可导函数f(x)极大值与极小值的步骤,1. 确定函数的定义区间，求导数f(x),2.求方程f(x)=0的根,3.用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值求方程f(x)=0的根,解：,因此，当x=-2时，函数有极大值,当x=2时，函数有极小值,几何画板,例2求y=(x21)3+1的极值,解：y=6x(x21)2=6x(x+1)2(x1)2 令y=0解得x1=1，x2=0，x3=1,当x变化时，y，y的变化情况如下表,当x=0时，y有极小值且y极小值=0,几何画板,例3 求函数,的极值.,解：,不存在.列表如下：,，当x0时，,由上表知，在,上函数为减函数，,函数为增函数，当x0时，,在,函数,有极小值0.,点评,列表时，既要考虑导数等于零的点， 又要考虑定义域的“断点”和导数不存在的点. 导数等于零的点不一定都是极值点， 极值点的导数可能不存在！,小结,求极值的步骤 第一，求导数f(x) 第二，令f(x)=0求方程的根 第三，列表，检查f(x)在方程根左右的值的符号， 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值， 如果左右都是正，或者左
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