高中数学第二章几个重要的不等式1.1简单形式的柯西不等式课件北师大版.pptx

第二章 1 柯西不等式,1.1 简单形式的柯西不等式,学习目标 1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式，理解它们的几何意义. 2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式，会求某些特定形式的函数的最值.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 简单形式的柯西不等式,思考1 (a2b2)(c2d2)与4abcd的大小关系如何？那么(a2b2)(c2d2)与(acbd)2的大小关系又如何？,答案 (a2b2)(c2d2)4abcd，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考2 当且仅当ab且cd时，(a2b2)(c2d2)4abcd，那么在什么条件下(a2b2)(c2d2)(acbd)2?,答案 当且仅当adbc时，(a2b2)(c2d2)(acbd)2.,思考3 若向量(a，b)，向量(c，d)，你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式？,梳理 (1)简单形式的柯西不等式 定理1：对任意实数a，b，c，d，有(a2b2)(c2d2) . 当向量(a，b)与向量(c，d) 时，等号成立. 简单形式的柯西不等式的推论 (ab)(cd)_(a，b，c，d为非负实数)； (a，b，c，dR)； (a，b，c，dR). 以上不等式，当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立.,(acbd)2,共线,|acbd|,|ac|bd|,(2)柯西不等式的向量形式 设，是任意两个向量，则| |，当向量， 时，等号成立.,共线,题型探究,类型一 利用柯西不等式证明不等式,例1 (1)已知a2b21，x2y21，求证：|axby|1；,证明,当且仅当abc时，等号成立.,证明,反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时，要抓住不等式的基本特征：(a2b2)(c2d2)(acbd)2，其中a，b，c，dR或(ab)(cd) 其中a，b，c，dR.找出待证不等式中相应的两组数，当这两组数不太容易找时，需分析，增补(特别是对数字的增补：如a1a)，变形等.,证明,证明 a1，a2，b1，b2R，,例2 若实数x，y，z满足x24y2z23，求证：|x2yz|3.,证明,证明 因为x24y2z23， 所以由柯西不等式得x2(2y)2z2(121212)(x2yz)2,整理得(x2yz)29，即|x2yz|3.,反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”，构造使用柯西不等式的条件. (2)此类题也可以用三角不等式，把ABO的三个顶点分别设为O(0,0)，A(x1，x2)，B(y1，y2)即可.,证明 ac(ab)(bc)， 又abc， ac0，ab0，bc0.,证明,类型二 利用柯西不等式求最值,例3 若3x4y2，试求x2y2的最小值及最小值点.,解 由柯西不等式，得(x2y2)(3242)(3x4y)2，,解答,反思与感悟 利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件. (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧. (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.,跟踪训练3 已知a，bR，且9a24b218，求3a2b的最值.,解答,解 由柯西不等式，得(9a24b2)(1212)(3a2b)2， 9a24b218， 36(3a2b)2. |3a2b|6.,达标检测,1,2,4,3,5,解析 (a2b2)(3222)(3a2b)2，当且仅当3b2a时取等号， 所以(3a2b)2413.,1.已知a，bR，a2b24，则3a2b的最大值为,答案,解析,1,2,4,3,5,解析 (a2b2)(1212)(ab)24，当且仅当ab1时，等号成立， a2b22.,2.已知a0，b0，且ab2，则,答案,解析,1,2,4,3,5,最小值为9.,答案,解析,9,1,2,4,3,5,解析 (a2b2)(m2n2)(manb)225， m2n25.,答案,解析,当且仅当anbm时取等号.,1,2,4,3,5,5.已知a2b21，求证：|acos bsin |1.,证明,证明 1a2b2(a2b2)(cos2sin2)(acos bsin )2， |acos bsin |1.,规律与方法,1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数，应用时要对照柯西不