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文档简介

1,主讲教师: 王升瑞,高等数学,第十一讲,2,第三节,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,向量的数量积和向量积,第六章,3,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,1. 定义,设向量,的夹角为 ,称,数量积,(点积、内积、标量积) .,注：数量积是数，不是向量,4,故,2. 性质,为两个非零向量,则有,两个向量的数量积其中一个向量的模和另一个,向量在这个向量的方向上的投影的乘积。,5,3. 运算律,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,事实上, 当,时, 显然成立 ;,6,4. 数量积的坐标表示,设,则利用数量积的运算律与性质得：,两个向量的数量积它们对应坐标的乘积之和。,7,当,为非零向量时,由于, 得,两向量的夹角公式,则当,8,例1. 已知三点, AMB .,解:,则,求,故,9,例2：已知,求,的模,解：根据数量积的限制和定义，得,10,例3. 证明三角形余弦定理,证:,则,如图 . 设,11,二、两向量的向量积,引例. 设O 为杠杆L 的支点 ,有一个与杠杆夹角为,在研究物体转动问题时，,还要分析这些力所产生的力矩。,其大小,不但要考虑物体所受的力，,其中,称为力臂,0点到力,的作用线的距离。,12,力矩的方向是这样确定的：,其方向符合右手规则,也就是,垂直于,和,所确定的平面。,即：,构成右手系。,即当右手的四个手指指向,的方向，拳转向,时，大拇指所指,的方向为力矩,的方向。,这由两个已知向量按上述方法确定另一个向量，,数学上称这个向量是已知两个向量的向量积。,13,1. 定义,定义,向量,方向 :,(叉积、外积),记作,且符合右手规则,模 :,向量积 ,引例中的力矩,思考: 对应的三角形面积,S,注：,在几何上表示以,为邻边的,的平行四边形的面积。,14,2. 性质,为非零向量, 则,3. 运算律,(2) 分配律,(3) 结合律,(证明略),证明:,注：,15,4. 向量积的坐标表示式,设,则,16,向量积还可用三阶行列式表示,17,向量积还可用三阶行列式表示,18,向量积的行列式计算法,上式均称为向量积的坐标表达式。,19,上式可以推出：当,因上式右端有,整理得：,20,解：,例2：已知,21,解,例3,22,例4：设,求同时垂直于,的 1. 单位向量,2. 模为,解：先求出同时垂直于,的向量,23,2. 设,由题意可知,得,令,即,或,24,例5. 已知三点,求三角形 ABC 的面积,解: 如图所示,25,在顶点为,三角形中,求 AC 边上的高 BD .,解：,为邻边的平行四边形的面积为,例6.,而,故有,26,例7 已知,解,求 m .,为邻边的平行四边形面积为,27,内容小结,设,1. 向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,28,思考与练习,1. 设,计算,并求,夹角 的正弦与余弦 .,答案:,2. 用向量方法证明正弦定理:,29,证: 由三
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