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二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,泰勒 ( Taylor )公式,第三章,1. 求 n 次近似多项式,2. 余项及误差估计:,(称为余项),(称为误差),s.t.,一、泰勒公式的建立,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒（Taylor）中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,泰勒（英） (1685 1731),佩亚诺（Peano）余项 麦克劳林（Maclaurin）公式,麦克劳林 （英） (1698 1746),佩亚诺 （意大利） (1858 1932),二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用 （例1）,2. 利用泰勒公式求极限（例2）,3. 利用泰勒公式证明不等式（例3）,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,例2. 求,解:,由于,用洛必塔法则不方便 !,例3. 证明,证:,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,2. 常用函数的麦克劳林公式,3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(2) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,作业 P145
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