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5.5 广义积分,5.5.1 无限区间的广义积分 5.5.2 无界函数的广义积分,5.5.1 无限区间的广义积分 5.5.2 无界函数的广义积分,当极限存在时, 也称广义积分收敛; 若极限不存在, 则称广义积分发散, 此时无数值意义.,定义5.2 设函数 在区间 上有定义,如果极限 存在,在无穷区间上 的广义积分,并定义,5.5.1 无限区间的广义积分,则称此极限为函数,当极限存在时, 称广义积分收敛; 若极限不存在, 则称广义积分发散.,类似地, 设函数 在区间 上有定义,如果极限 存在,则称此极限为,并定义,设函数 在区间 上有定义,则称上述两个广义积分之和为,在无穷区间 上的广义积分，,函数,并定义,广义积分 和,都收敛,当且仅当上式右端两个广义积分均收敛, 称广义 积分 收敛; 否则, 称广义积分发散.,如果对于任意常数c,例1 计算,解,广义积分的积分值,的几何意义,解,当 时广义积分发散.,因此,当 时广义积分收敛, 其值为,例2 讨论广义积分 的收敛性.,证,例3 证明广义积分,收敛,发散.,并计算,因此,例4 计算,解,令,于是,5.5.2 无界函数的广义积分(瑕积分),当极限存在时, 也称广义积分收敛; 若极限不存在, 则称广义积分发散.,定义2 设函数 在区间(a, b上有定义,但当 时 无界,称 是 的,瑕点,则称此极限为函数 在区间(a, b上的广义积分，,并定义,取 如果极限 存在,当极限存在时, 也称广义积分收敛; 若极限不存在, 则称广义积分发散.,类似地, 设函数 在区间a, b)上有定义,积分,则称此极限为函数 在区间a, b)上的广义,取 如果极限 存在,瑕点,但当 时 无界,称 是 的,并定义,否则, 称广义积分 发散.,定义,设函数 在区间a, b上除点,外有定义, 而点c 是 的瑕点.,当两个广义积分 都收敛时，,解,例5 讨论广义积分 的收敛性.,因此,当 时广义积分收敛, 其值为,当 时广义积分发散.,是瑕点.,例6 计算广义积分,解,是瑕点.,例7 计算广义积分,解,是瑕点.,取,例8 计算广义积分,解,是瑕点,该积
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