傅立叶变换的性质证明.ppt

3.4 傅立叶变换的性质,若 则 其中，a, b 均为常数。,说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,一、线性性质,例:,若 ，则,二、时移性质,说明:信号在时域的中的延时和频域中的移相相对应。 应用：要使信号 f (t) 经过系统传输之后延时 t0，则必须设计成使系统的每一个频率分量都滞后相位t0，否则会引起失真。,例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱函数为F0()，则,二、时移性质,因为,脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。,由时移性质可知三脉冲函数f (t)的频谱函数F()为,二、时移性质,若 ，则,三、频移性质,说明:信号在时域中乘以 ，实际上是将信号在频域当中将整个频谱沿频率轴右移0个单位。 频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成。 频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号。一般载波信号选取为正弦信号 或 。,三、频移性质,若 ， 为任意实常数， 则,四、尺度变换性质,当 a=1 时，有,说明:信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展 信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩。 在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。,物理意义:信号的波形压缩 a 倍，则信号随时间变化加快 a 倍，则它包含的频率分量也增加等效于在频域中扩展a倍，即信号的频谱扩展 a 倍。根据能量守恒定理，各频率分量大小必然减小a倍。,四、尺度变换性质,如果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质：,即,四、尺度变换性质,或,若 f (t) 是实函数,五、共轭对称性,说明：对实时间信号，信号的幅频为偶对称，相频为奇对称， 傅立叶变换的实部为偶对称，虚部为奇对称。,其中,则,若 f (t)为实偶函数，即 f (t) = f ( t) ，此时 则 F() R()必为 的实偶函数。,五、共轭对称性,其中 是 的复共轭。,若 f (t)为实奇函数，即f (t) = f ( t) ，此时 则 F() jX() 必为 的虚奇函数。,对任意信号 f (t) ，若,则有,若 ，则,六、正反变换的对称性,根据傅立叶反变换,即有,所以,得,亦即,证明:,若 为实偶函数，则,六、正反变换的对称性,说明: 若 f (t)的傅立叶变换为 F() ，则形状为 F()的波形对应傅立叶变换就是 2 f (t) 。若 f (t) 是实偶函数，则时域与频域完全对称。,六、正反变换的对称性,例: 求取样信号 的频谱。,解： 此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。 由前面知道，高度为 E ，宽度为 的对称矩形脉冲的频谱为 根据傅立叶变换的对称性，有,上式中，令 ，E=1，则有,若,七、时域卷积性质,由时移性质得,所以,证明：,则,即,八、频域卷积性质,令 得,若,所以,证明：,则,频域卷积也称调制定理，表示用信号去调制另一信号振幅。,若 , 则,九、时域微分性质,证明：由傅立叶反变换,两边对时间变量 t 求导得,推广：对高阶导数情况，有,说明：在频域分析中常利用这一性质来分析微分方程描述的LTI系统。,若 ， 则,十、时域积分性质,证明：对信号的积分可以看成是信号与阶跃函数的卷积，然后利用时域卷积性质有,如果 f (t) 的积分为零，即,则,所以有,解： f (t) 可表示为,十、时域积分性质,例：已知三角脉冲信号如图所示， 求它的频谱 F(),对其求一阶、二阶导数得,十、时域积分性质,图(a)可以看作是(c)积分两次得到，所以利用积分性质可得：,解： f (t) 可表示为,十、时域积分性质,例：已知截平斜变信号如图所示，求它的频谱 F(),对其求导数得,根据矩形脉冲频谱及时移性质知道 的频谱为,因为 所以