§1.4条件概率独立性.ppt

一 条件概率 简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下的事件概率. 从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生 于一定条件下的试验或观察，但我们这里所说的“附加条件”是指 除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某 某事件发生了”.,14 条件概率与统计独立性,已知事件A发生的条件下,事件 B发生的条件概率记为,?,例1 有100件产品，其中10件次品，有40件按新工艺制造，其 中有两件次品。现从100件产品中任取一件，问： 1）此产品是次品的概率 2）已知此产品是新工艺生产的，它是次品的概率。,解： 设 A=“任取一件为次品” B=“此产品由新工艺生产”,2),例2 一个家庭中有两个孩子. 已知其中有一个是女孩，问另 一个也是女孩的概率为多大?(假定一个小孩是男女等可能) 解： =(男,男) (男,女) (女,男) (女,女) A=已知有一个女孩=(男,女) (女,男) (女,女) B=另一个也是女孩=(女,女),于是所求概率:,或 A=（男，女）（女，男）（女，女） B=( 女,女) 于是所求概率:,定义1： 设（ F P）是概率空间，A，B F ,且 P（A）0. 称,为已知事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率.,在具体计算 时，可以用公式右端来求，也可以像刚才的例子那样，直接从缩小了的样本空间来求，后一种求法有时更方便、实用.,（1）,注意：在许多实际问题中，我们并不总是用定义来判断事件的独立性，而是相反直接从问题的实际背景出发，看两个事件是否互不关联，如果两个事件互不关联，彼此没有影响，就可认为是独立的.,满足概率的三个公理.因而是个概率,满足,注：1 2,定理1：,(1) 非负性 ：,(3) 可列可加性：,(2) 规范性：,乘法公式,推广： 设,（2）,例3（Polya）模型 罐中有b 个黑球，r 个红球。从中随机取出一球，然后放回，并加进同色球 c 个和异色球 d 个，然后再进行第二次抽取，这样下去共取n 次，求 （1）前三次取出的球为“红黑红”的概率。 （2）前 次出现红球，后 次出现黑球的概率。,解： 设,（2）,（1）,（Polya）模型 罐中有b 个黑球，r 个红球。从中随机取出一球，然后放回，并加进同色球c个和异色球d个，然后再进行第二次抽取，这样下去共取n 次，求 （1）前三次取出的球为“红黑红”的概率。 （2）前n1次出现红球,后n-n1 次出现黑球的概率。 这个模型有各种变化，具体如下： （1）当c=-1, d=0时，即为不返回抽样。 （2）当c=0, d=0时，即为返回抽样。 （3）当c0, d=0时，即为传染病模型。 （4）当c=0, d0时，即为安全模型。,某班级共有100名同学，其中男生60名，女生40名.在期末 的高等数学考试中有8人考试不及格，其中有6名男生，2名女 生. 若 表示同学是男生这一事件， 表示考试不及格这一事 件. 试求 (1) 条件概率 , , . (2) 解释 、 的含义，并比较它们的大小. (3) 当有5人考试不及格，其中有4名男生，1名女生时， 此时意味着什么？,思考题,?,三 事件的独立性,定义2：设事件A, B是概率空间（,F,)的两个事件，若 P(AB)P(A)P(B) （1） 则称事件A,B是相互独立的.,注：若事件A, B 相互独立，有：,.（2）,定理1 以下四个结论等价： (1)事件 相互独立；(2)事件 相互独立； (3)事件 相互独立；(4)事件 相互独立。,注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.,证明,独立与互斥的关系,这是两个不同的概念.,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.,两事件相互独立,两事件互斥.,可以证明： 特别的,A与B 独立 ,A与B 相容( 不互斥),或,A与B 互斥 ,A与B 不独立,定义3 : 称A ,B ,C 是相互独立的,如果有:,（3）,若只满足前三式，则称A ,B ,C两两独立。,注：1 事件两两独立，未必相互独立,2 （3）中的第4个式子成立，其余3个式子也未必成立。,四 多个事件的独立性,3 两两独立没有传递性。,定义4: 称 是相互独立的,如果对任意自然数 及,有：,定理2 设 相互独立，则将其中任意 个换成其对立事件，则所得的n个事件也相互独立.,共 个等式.,从定义容易看出：若事件 相互独立，则它们必 定两两独立，并且其中任意一部分（多于一个）也相互独立，此 外还有以下结论：,例4 设某种型号的高射炮命中率为0.6,若干门炮同时发射 (每炮射一发) 问:欲以99%以上的把握击中敌机,至少配备几 门高炮?,五 独立性在计算概率中的应用,解: 设至少需要n门炮,至少需配置六门炮才能以99%以上的把握击中敌机.,由题意：,故,例5 一个人照看三台机床，在1小时内不需要照顾的概率分 别为0.9、0.8、0.7，求在1小时内三台机床中最多有一台需 要照顾的概率。,例6 甲乙丙三人同时向一飞机射击，击中的概率分别为0.4， 0.5，0.7，如果只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2，如 果有二人击中，飞机被击落的概率为0.6，如果三人都击中， 则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。,解：设 分别表示甲, 乙, 丙击中敌机,分别表示有1，2，3人击中敌机,=“敌机被击落”,六 串联、并联系统可靠度的计算,1 可靠性研究的内容,1）可靠性寿命试验 2）可靠性维护策略 3）系统可靠度计算.,2 可靠度,定义: 指一元件或系统在规定的时间内能正常工作的概率。,3 可靠度的计算,n,1,2,1 串联系统,1