线性代数第五章第二节.ppt

引例,主要内容,特征值与特征向量的概念,特征值与特征向量的求法,特征值与特征向量的性质,第 二 节 特征值与特征向量,方程组等问题，也都要用到特征值的理论.,工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定,性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征,向量的问题.,数学中诸如方阵的对角化及解微分,一、引例,作下面的乘法得,引例 设,只是原像的倍数.,我们可以从映射的角度看待上述运算，即,由二阶实矩阵 A 定义了一个由全体二元实向量,集合 R2 到 R2 自身的一个映射，它的对应法则,a R2 Aa R2 .,在此映射下，二元实向量 a1，a2 的像 Aa1，Aa2,为：,向量有些什么性质？,从几何上看，像与原像在一条直线上，而,向 量 a3 的像 Aa3 就 不 具有这个性质.,我们把,a1，a2 称为矩阵 A 的特征向量，,数 -1 与 3 分别,称为a1，a2 对应的特征值.,那么，是否任何一,个方阵都有特征值与特征向量？,特征值与特征,题.,这是本节要讨论的主要问,量.,二、特征值与特征向量的概念,定义 6 设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n,维非零列向量 x 使关系式,Ax = x （1）,成立，,那么，这样的数 称为方阵 A 的特征值，,非零向量 x 称为 A 的对应于特征值 的特征向,1. 定义,| A - E | = 0 ，,即,（1）式也可写成,(A - E)x = 0 ， （2）,这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组，,它有非零解的充要条件是系数行列式,值.,上式是以 为未知数的一元 n 次方程，称为,方阵 A 的特征方程.,其左端 | A - E | 是 的 n,次多项式，记作 f(), 称为方阵 A 的特征多项式.,显然，A 的特征值就是特征方程的解.,特征方程,在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重,根按重数计算），,因此，n 阶方阵 A 有 n 个特征,2. 特征值的性质,(2) 12 n = | A |.,设 1 , 2 , , n 是 n 阶方阵 A = (aij) 的 n 个,特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则,(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,特征向量.,三、特征值与特征向量的求法,求矩阵 A 的特征值与特征向量的步骤如下：,Step 1 ：计算 A 的特征多项式，并求出特,征方程的所有根. 设矩阵 A 有 s 个不同的特征值,1 , 2 , , s .,Step 2 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2, s ), 求解齐次线性方程组 (A - i E ) x = 0，该,方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部,例 7 设矩阵,求 A 的特征值与特征向量.,例 8 设矩阵,求 A 的特征值与特征向量.,例 9 设矩阵,求 A 的特征值与特征向量.,例 10 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = E), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = E .,例 11 设 是方阵 A 的特征值. (1) 证明 k 是 Ak 的特征值(k 为正整数); (2) 设 = a0 + a1 + + amm , A = a0E+ a1A + + amAm , 证明 是 A 的特征值.,pm 线性无关.,定理 2 设 1 , 2 , , m 是方阵 A 的 m 个,特征值, p1 , p2 , , pm 依次是与之对应的特征向,量.,如果 1 , 2 , , m 各不相等,则 p1 , p2 , ,四、特征值与特征向量的性质,例 12 设 A 为可逆矩阵, 为 A 的特征值,p 为对应的特征向量, 证明:,为 A-1 与 A 的特征值, p 分别为 A-1 与 A 对应的 特征向量.,分别,例 13 设三阶矩阵 A 的特征值为,设矩阵,(1) B 的特征值; (2) | B |.,试求:,例 14 设 1 , 2 是矩阵 A 的两个不同的,特征值，对应的特征向量依次为 p1 , p2 , 证明,p1 + p2 不是 A 的特征向量.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请