2018届高三数学复习平面解析几何第五节椭圆课件文.pptx

文数 课标版,第五节 椭圆,1.椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做 椭圆 .这两个定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点间的距离 叫做椭圆的 焦距 . 集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数.,教材研读,(1)若 ac ,则集合P表示椭圆; (2)若 a=c ,则集合P表示线段; (3)若 ac ,则集合P为空集.,2.椭圆的标准方程和几何性质,3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内 + 1.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. () (2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭,圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). () (3)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. () (4)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. () (5)方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆. (),1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点, 把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于 点P,则点P的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 答案 A 由折叠过程可知点M与点F关于直线CD对称,故|PM|=|PF|,所 以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r|OF|(r为圆O的半径).故由椭圆的定义 可知,点P的轨迹为椭圆.,2.已知F1,F2是椭圆 + =1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于A,B两点. 在AF1B中,若有两边之和是10,则第三边的长度为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案 A 根据椭圆的定义,知AF1B的周长为4a=16,故所求的第三边 的长度为16-10=6.,3.椭圆x2+my2=1(m0)的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m等于 ( ) A. B.2 C.4 D. 答案 D 由x2+ =1(m0)及题意知,2 =221,解得m= ,故选D.,4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 2x2+3y2=m(m0) + =1, c2= - = ,e2= ,又0e1,e= .故选B.,5.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程 是 . 答案 + =1 解析 依题意,设椭圆方程为 + =1(ab0), 则有 解得a=2,b2=3. 故C的方程为 + =1.,考点一 椭圆的定义及标准方程 典例1 (1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且 和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ( ) A. - =1 B. + =1 C. - =1 D. + =1 (2)已知椭圆C: + =1(ab0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为 ,过 F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ) A. + =1 B. +y2=1 C. + =1 D. + =1,考点突破,(3)已知F1、F2是椭圆C: + =1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一 点,且 .若PF1F2的面积为9,则b= . 答案 (1)D (2)A (3)3 解析 (1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8 16,动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c =4,b2=48,故所求的轨迹方程为 + =1. (2)由题意及椭圆的定义知4a=4 ,则a= ,又 = = ,c=1,b2=2, C的方程为 + =1. (3)|PF1|+|PF2|=2a, ,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,2|PF1|PF2|=4a2-4c2=4b2, |PF1|PF2|=2b2, = |PF1|PF2|= 2b2=b2=9. b=3.,(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|=4c2,1.椭圆定义的应用类型及方法 (1)利用定义确定平面内的动点的轨迹是否为椭圆; (2)利用定义解决与焦点三角形相关的周长、面积及最值问题.,方法指导,2.椭圆标准方程的求法 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量, 即首先确定焦点所在位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组.如果 焦点位置不确定,要考虑是否有两解,有时为了解题方便,也可把椭圆方 程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.,1-1 一个椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,P(2, )是椭圆上一点, 且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则椭圆的标准方程为 ( ) A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 答案 A 设椭圆的标准方程为 + =1(ab0).由点P(2, )在椭圆 上知 + =1.又|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a= 22c, = ,又c2=a2-b2,联立 得a2=8,b2=6,故椭圆方程为 +,=1.,1-2 设F1、F2分别是椭圆E:x2+ =1(00). 又|AF1|=3|F1B|, 由 =3 得B , 代入x2+ =1得 + =1,又c2=1-b2,b2= .故椭圆E的方程为x2+ y2=1.,考点二 椭圆的几何性质 典例2 (1)(2016课标全国,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C: + =1(ab0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PFx 轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE 的中点,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D. (2)已知动点P(x,y)在椭圆 + =1上,若A点的坐标为(3,0),| |=1,且 =0,则| |的最小值为 . 答案 (1)A (2),解析 (1)解法一:设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k= , 从而直线AM的方程为y= (x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE= . 同理,OE的中点N的纵坐标yN= . 因为2yN=yE, 所以 = , 即2a-2c=a+c, 所以e= = .故选A. 解法二:如图,设OE的中点为N, 由题意知|AF|=a-c,|BF|=a+c,|OF|=c,|OA|=|OB|=a,PFy轴, = = , = = , 又 = , 即 = , a=3c,故e= = .,(2)由| |=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动, =0,PMAM,即PM为A的切线,连接PA(如图),则| |= = ,又P在椭圆上运动,当| |min=5-3=2时, | |min= .,方法技巧 求椭圆离心率的常用方法: (1)直接求出a,c,利用定义求解. (2)构造a,c的齐次式,解出e.由已知条件得出关于a,c的二元齐次方程,然 后转化为关于离心率e的一元二次方程求解. (3)通过特殊值或特殊位置求出离心率.,2-1 (2016课标全国,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若 椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D. 答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|=|AF|OB|,即bc= a ,所以e= = .故选B.,2-2 已知F1、F2分别是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的 一个动点,那么| + |的最小值是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.2 答案 C 设P(x0,y0),则 =(-1-x0,-y0), =(1-x0,-y0), + =(-2x0,-2y0), | + |= =2 =2 . 点P在椭圆上, 0 1, 当 =1时,| + |取最小值,为2.,考点三 直线与椭圆的位置关系 典例3 已知椭圆E: + =1(ab0)的离心率为 ,右焦点为F(1,0). (1)求椭圆E的标准方程; (2)设点O为坐标原点,过点F作直线l与椭圆E交于M,N两点,若OMON, 求直线l的方程. 解析 (1)依题意可得 解得a= ,b=1, 所以椭圆E的标准方程为 +y2=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),当MN垂直于x轴时,直线l的方程为x=1,不符合题意; 当MN不垂直于x轴时,设直线l的方程为y=k(x-1). 联立得方程组,消去y整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0, 所以x1+x2= ,x1x2= . 所以y1y2=k2x1x2-(x1+x2)+1= . 因为OMON, 所以 =0, 所以x1x2+y1y2= =0, 所以k= , 即直线l的方程为y= (x-1).,方法技巧 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方 程与椭圆方程联立,消元,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关 问题,涉及弦中点的问题常用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= = (k为直线斜率,k0). 提醒:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行 的,不要忽略判别式.,3-1 (2016山西太原五中月考)已知P(1,1)为椭圆 + =1内一定点,经 过P引一条弦,使此弦被P点平分,则此弦所在的直线方程为 . 答案 x+2y-3=0 解析 解法一:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设其方程为y-1=k(x- 1),弦的端点坐标为(x1,y1),(x2,y2).,由 消去y得(2k2+1)x2-4k(k-1)x+2(k2-2k-1)=0,x1+x2= , 又x1+x2=2, =2,解得k=- . 故此弦所在的直线方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0. 解法二:易知此弦所在直线的斜率存在,所以设斜率为k, 弦的端点坐标为(x1,y1)、(x2,y2), 则 + =1, + =1, -得 + =0,x1+x2=2,y1+y2=2, +y1-y2=0,k= =- . 此弦所在的直线方程为y-1=- (x-1),即x+2y-3=0.,3-2 已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N 内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半 径最长时,求|AB|. 解析 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半 径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以 |PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是左、右焦点为M、N,长半轴长为2,短半轴,长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 + =1(x-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且 仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半