电大高数1-2 (14-15) (A)答案

2014 2015学年第二学期考试A 卷参考答案与评分标准高等数学1-2一、填空题（共24分，每小题3分） 1.z x z + 2. 12+e 3.0)1(323=-+z e x 4.4 0 2),(x x dy y x f dx 5. 2 6. 143 7. 3 , 3(- 8. xe x c c y 221)(+=二、选择题（共12分，每小题3分）1. B2. A3. D4. C三. 解答题：（共64分）1.（7分）解: .令=+=+=01ln 2),()2(2),(22y y x y x f y x y x f y x 得驻点) , 0(1-ey x y x f xy y x f y y x f yy xy xx 12),( , 4),( , )2(2),(22+=+=在驻点),0(1-e 处，e C B e A =+=- , 0 , 0)2(22，因为0)2(222+=-e e B AC故11),0(-=e e f 为函数),(y x f 的极小值2. （7分） 解：21f x f y x z+=y f x y f y f y x z+=2112)()(222112111f y f x x f y f x y f -+-+=221222111)(f xy f y x f xy f -+=解法1： d d dxdy xy D =2 0 cos 0 3sin cos-=20 5cos cos 41d241=解法2： -=1 0 0 2x x D ydy dx x dxdy xydx x x x )(2110 2-=241=4. （7分） 解：1121)(-=x x x f 231121)3(11-+-+=x xn n n n n n x x )23()1(21)3()1(00-=nn n n x )3()211()1(01-=+ 由-1231131x x ，得可展区间为 42x5. （7分）解：原方程可化为:x y x y ln 2=+ 通解为 )(l n 22+=-C d x e x e y dx x dx x ln 22+=-C xdx x x91ln 31332C x x x x +-=- 91, 1-=y x ，0=C ，故所求特解为)1ln 3(9-=x xy解：（1） 先求023=+-y y y 的通解为Y , 其特征方程为:0232=+-r r ，解得 2 , 121=r r 所以 x x e C e C Y 221+=（2）求原方程的一个特解*y1=是特征方程的单根, 故可设x e B Ax x y )(*+= 记Bx Ax x Q +=2)(，则B Ax x Q +=2)(，A x Q 2)(= 由x x Q q p x Q p x Q 2)()()()2()(2=+，得2 , 1-=-=B A 故 x e x x y )2(*+-= 原方程的通解为 x x x e x x e C e C y )2(221+-+=7. （8分）解法1：如图，L +BO 为封闭曲线，设其所围区域为D, 令2cos3P xy x y =-，31sin 3Q x y =+ 由格林公式L BO Pdx Qdy +=d D Q P x y - +-=Ddxdy y x x y x )3sin 3(3sin 322 4 分=1 0 0 x dy xdx 5 分521 0 23=dx x 6 分 02113BO BO Pdx Qdy Pdx x dx +=-= ()L BO BO I Pdx Qdy +=-+=2115315=-= 8 分 解法2：2132)3sin 1()3cos (I I dy y x dx y x xydx I L L+=+-+= 3 121 02()05OA AB OA I xydx xydx x dx =+=+= 令y x y x P 3cos ),(2-=，y x y x Q 3sin 1),(3+=因23sin 3Q P x y x y=，故2I 与积分路径无关 故-=-=+-=1 0 232231)3sin 1()3cos (dx x dy y x dx y x I OB 从而 151315221=-=+=I I I 8.（7分）解法1：由高斯公式-+=dV x x z I )(222 3 分=102z D dxdy dz z 4 分 -=10 22)(dz z z z 6 分 20= 7 分 解法2：由高斯公式-+=dV x x z I )(222dr r d d =2 0 cos 0 422 0 sin cos =207 sin cos 52d20=9.（6分）.解：+=+=t t t t d f e d f d e t f 2 0 2 0 2 0 4 4)21(2)21()(22分) 方程两边对t 求导得 )( 8 8)(2 4t f t e t t f t +=即24 8)( 8)(t e t t tf t f =- 8)( 8 4 82C dt e te e t f dt t t dt t +=- 8222 4 4 4+=-C dt e te