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,第二章,二、 无穷大量,三 、 无穷小量与无穷大量的关系,一、 无穷小量,第三节,无穷小量与无穷大量,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,一、无穷小量,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小.,2.无穷小量与函数极限的关系:,意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3.无穷小量的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小量的和, 差仍是无穷小量.,证,注意 无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小.,证,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小量的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小量.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小量.,都是无穷小,二、无穷小量的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,无穷小量的和，差，积是无穷小，那么商呢？,定义:,注意： 1.高阶无穷小量趋于0的速度快； 2.等价无穷小量常用于求极限； 3.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,二、无穷大量,绝对值无限增大的变量称为无穷大.,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,但该数列是无界的.,三、无穷小量与无穷大量的关系,定理4 在同一过程中,无穷大量的倒数为无 穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无 穷小的讨论.,四、小结,1、主要内容:,两个定义;四个定理;三个推论.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是
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