§3.2条件概率与随机变量的独立性.ppt

3.2 条件概率与随机变量的独立性,一、条件分布的概念,在第一章中，曾介绍了条件概率的概念，那是对随机事件 而说的。本节要从事件的条件概率引入随机变量的条件概率分 布的概念。,引例 考虑某大学的全体学生，从中随机抽取一个学生，分 别以X和Y表示其体重和身高，则X和Y都是随机变量，它们都有 一定的概率分布。现在若限制1.7Y1.8(米)，在这个条件下去 求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米 和1.8米之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重 的分布。,设X是一个随机变量，其分布函数为,若另有一事件A已经发生，并且A的发生可能会对事件Xx,则对任一给定的实数x，记,并称 为在事件A发生的条件下，X的条件分布函数。,条件分布函数,例1 设X在区间0，1上服从上的均匀分布, 求在已知X1/2 的条件下的条件分布函数。,解,因为X在0,1上服从均匀分布，其分布函数为,由于X在0,1上服从均匀分布，故,当 时，,当 时，,由条件分布函数的定义，有,从而,二、 随机变量的独立性,设A是随机变量Y所生成的事件: A=Yy，且 则有,一般地, 由于随机变量X，Y之间存在相互联系,因而一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性。 在何种情况下, 随机变量X，Y之间没有上述影响, 而具有所谓的“独立性”, 我们引入如下定义。,定义1 设随机变量(X，Y)的联合分布函数为F(x，y), 边缘分布函数为FX(x)，FY(y), 若对任意实数x，y,有,即,则称随机变量X和Y相互独立。,注：若随机变量X和Y相互独立，则联合分布由边缘分布惟一确定。,定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立, 即, 对任意实数集A, B,有,定理2 如果随机变量X与Y相互独立, 则对任意函数 ， ，均有 和 相互独立。,证,令,对任意x，y，记,则由定理1，有,从而，由定义知 和 相互独立。,关于两个随机变量的独立性的概念可以推广到n个随机变量的情形,三、离散型随机变量的条件分布与独立性,设(X，Y)是二维离散型随机变量，其概率分布为,由条件概率公式，当 时，有,称其为在 的条件下随机变量X的条件概率分布。,类似地，定义在 的条件下随机变量Y的条件概率函数：,条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质。,定义2 若对(X，Y)的据有可能取值(xi，yj)，有,即,则称X和Y相互独立。,例2 设X和Y的联合分布律为,(1)求Y=0时，X的条件概率分布；,(2)判断X与是否相互独立？,解,(1),在Y=0时，X的条件概率分布为,即,同理,故X=0时，Y的条件概率分布为,(2) 因为,所以X与Y不相互独立。,而 ，可见,即,例3 设随机变量X与Y相互独立, 下表列出了二维随机变量联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.,解,由于,又因为X与Y相互独立，有,又设,则,由独立性，有,解得,或,于是,四、连续型随机变量的条件密度与独立性,设(X，Y)是二维离散型随机变量，由于对任意的x，y,所以不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数”。,定义3 设二维离散型随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)，边缘密度为fX(x)，fY(y)，则对一切使fX(x)0的x，定义在X=x的条件下Y的条件概率密度为,类似地，对一切使fY(y)0的y，定义在Y=y的条件下X的条件概率密度为,关于定义内涵的解释：以 为例,也就是说，对很小的dx和dy，fX|Y(x|y)表示已知Y取值于y和y+dy之间的条件下，X取值于x和x+dx之间的条件概率。,运用条件概率密度，可以在已知某一随机变量值的条件下，定义与另一随机变量有关的事件的条件概率。即若(X，Y)是连续型随机变量，则对任一集合A，,特别地，取A=(-，+)，定义在已知Y=y的条件下X的条件分布函数为,二维连续型随机变量的独立性,定义4 设(X，Y)为二维连续型随机变量， f(x，y)为其联 合概率密度， fX(x) ，fY(y)分别为X与Y的边缘密度， 若任意的 x，y，有,几乎处处成立，则称X，Y相互独立。,注：“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立。,例4 设(X，Y)的概率密度为,问X和Y是否独立？,解,当x0时，,所以,同样，有,当x0时，,而对一切x，y均有,故X与Y相互独立。,例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少?,解 设X为甲到达时刻, Y为乙到达时刻, 以12时为起点, 以分为单位, 依题意,即有,由X，Y独立性知,例6 设,(1)求 和,(2)证明X与Y相互独立的充要条件是,解,故在Y=y的条件下，X服从正态分布：,对称地，在X=x的条件下，Y服从正态分布：,比较 与 和 的密度 函数 ：f(x,y)，fX(x)，fY(y) 可知，当且仅当 时，,即，当且仅当 时，X与Y 相互独立。,例7 设随机变量(X，Y)的概率密度为,(2)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度。,(1)求X与Y的边缘概率密度，并判断X与Y相互独立 。,解,(1)由,当x0时，,当x0时，,所以,类似得,(2)求在Y=y的条件下，X的条件概率密度。,由(1)知，当y0时，fY(y)0的条件下，所以在Y=y的条件下，X的条件概率密度为,3.3 二维随机变量函数的分布,在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数。 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式,现希望通过(X，Y)的分布来确定Z的分布。此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.,本节我们重点讨论两种特殊的函数,(1) Z=X+Y,(2) Z=max(X,Y)和Z=min(X,Y)，其中X和Y相互独立。,注：应该指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算繁杂程度提高，并没有本质性的差异。,一、离散型随机向量的函数分布,设(X，Y)是二维随机向量，g(x,y)是二元函数，则g(X,Y)作为(X，Y)的函数是一个随机变量。如果(X，Y)的概率分布为：,设Z=g(X,Y)的据有可能取值为zk,k=1,2, ,则Z的概率分布为,例如，若X，Y相互独立，且,则Z=X+Y的概率分布为,即,这个公式称为离散型卷积公式,例1 设随机向量(X，Y)的概率分布如下表,求随机向量(X，Y)的函数Z的分布。,(1) Z=X+Y,(2) Z=XY,解,由(X，Y)的概率分布可得,0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05,(-1，-1) (-1，0) (-1,1) (-1,2) (2，-1) (2,0) (2,1) (2,2),-2 -1 0 1 1 2 3 4,1 0 -1 -2 -2 0 2 4,与一元离散型随机变量函数的分布的求法相同，把Z值相同项对应的概率值合并得,(1) Z=X+Y的概率分布为,(2) Z=XY的概率分布为,例2 若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为 ， 的泊松 分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布,解,依题意,由离散型卷积公式,即Z=X+Y服从参数为 的泊松分布,二、连续型随机向量的函数分布,设(X，Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x，y)，令g(x，y)为一个二元函数，则g(X，Y)j (X，Y)的函数。,求Z=g(X，Y)分布的一般方法：,(1) 求分布函数FZ(z)，,其中DZ=(x，y)|g(x，y) z,(2) 求其概率密度fZ(z)，对几乎据有的z，有,在求随机向量(X，Y)的函数g(X，Y) 的分布时，关键是设法将其转化为(X，Y)在一定范围内取值的形式， 从而利用已知(X，Y)的分布求出Z=g(X，Y) 的分布。,例3 设随机变量X与Y相互独立, 且同服从0，1上的均匀 分布, 试求 的分布函数与密度函数.,解,依题意，先如右的草图，先求FZ(z),当z0时，因为|X-Y|0，所以,当0z1时，,因为X与Y相互独立, 且同服从0，1上的均匀分布，所以由均匀分布概率计算公式知,即,当z1时，因为|X-Y|z成为必然事件，所以,综合得,对上式求导，即得Z=|X-Y|的概率密度,1. Z=X+Y,设(X，Y)是二维随机向量，其概率密度为f(x，y)，求Z=X+Y 的概率密度fZ(z)。,设Z的分布函数FZ(z)，则,化成累次积分，得,固定y和z，对括号内的积分变量作代换，令x=u-y，得,由概率密度与分布函数的关系，即得Z=X+Y的概率密度为,由X和Y的对称性，fZ(z)又可写成即得,以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式,当X和Y相互独立时，设(X，Y)关于X，Y的边缘密度分别为 fX(x)，fY(y)，则两个随机变量之和的概率密度一般公式化为：,上述两个公式称为卷积公式。,例4 设X和Y相互独立，均服从标准正态分布N(0,1)，求 Z=X+Y的概率密度。,解,因为,又X和Y相互独立,由卷积公式得,令 ，得,所以Z服从=0，2=2的正态分布，即ZN(0，2),定理1 设X，Y相互独立，且 ，,则Z=X+Y仍然服从正态分布，且,例5 设某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度函数为,如果各周需求量相互独立，求两周需求量的概率密度。,解,分别用X，Y表示第一、二周的需求量，则,从而两周的需求量Z=X+Y，由卷积公式,当z0时，,若x0，则z-x0，fZ(z-x)=0；,若x0，则fX(x)=0，,故,当z0时，,若x0，则fX(x)=0；,若z-x0，即zx，则 fY(z-x)=0,故,因此，当 0xz时，,综合得,