§3-4相互独立的随机变量.ppt

3-4 随机变量的独立性 一什么是随机变量的相互独立性？ 如何理解它的含义？ 二如何判断随机变量的相互独立性？,一什么是随机变量的相互独立性？ 如何理解它的含义？,两个随机变量的 相互独立性,一什么是随机变量的相互独立性？ 如何理解它的含义？,设(X,Y )为二维随机变量， 若对,则称随机变量X 和Y 相互独立。,任何实数 x, y 都有,随机变量 X 和 Y 独立的含义 随机变量 X 所描述的随机现象或随机试验的结果，与随机变量 Y 所描述的随机现象或随机试验的结果之间是相互独立的。,一随机变量的取值并不影响 另一随机变量取值的概率。,注记,（3）将一枚硬币连掷两次，,（2）一个人的姓氏笔画与其智商。,随机变量独立的例子,（1）一城市中两个相距较远的路段在一定 时间内各自发生的交通事故数。,判断方法（一）一般情形,设 F ( x, y ) 及 FX ( x )，FY ( y ) 分别是二维随机向量 (X，Y ) 的联合分布函数及边缘分布函数，则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是：若对于所有 x, y, 有,二、如何判断随机变量的相互独立性？,F ( x, y ) = FX ( x ) FY ( y ),二、如何判断随机变量的相互独立性？,思考题,二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维离散型随机向量(X,Y )的联合分布律为 pij = P X = xi , Y = yj ( i, j = 1, 2, ) 则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是：对于(X,Y )的所有可能取的值 (xi , yj ),有,判断方法（二）离散情形,P X = xi , Y = yj = P X = xi P Y = yj ,二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维离散型随机向量(X,Y )的联合分布律为 pij = P X = xi , Y = yj ( i, j = 1, 2, ) 则当 X 和 Y 相互独立时，有 P X = xi | Y = yj = P X = xi P Y = yj | X = xi = P Y = yj ( i, j = 1, 2, ),重要结论,设二维连续型随机向量(X，Y )的联合概率密度和边缘概率密度分别为f ( x，y )， fX ( x )，fY ( y )，则 X 和 Y 相互独立的充分必要条件是：等式 几乎处处成立。,二、如何判断随机变量的相互独立性？,“几乎处处成立”的含义： 在平面上除去“面积”为 0 的集合外，处处成立。,判断方法（三）连续情形,f ( x，y ) = fX ( x ) fY ( y ),二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维连续型随机向量(X,Y )的联合概率密度为 f ( x, y ), 则当 X 和 Y 相互独立时, 有 f ( x | y ) = fX ( x ) f ( y | x ) = fY ( y ),重要结论,一个口袋中装有 5 只球,其中 4 只红球, 1 只白球,每次从中随机抽取 1 只,连抽两次,令,例题1,二、如何判断随机变量的相互独立性？,X,Y,0,1,0,1,0,1/5,1/5,3/5,不放回抽样,放回抽样,X,Y,0,1,0,1,1/25,4/25,4/25,16/25,p. j,p. j,pi .,pi .,1/5,4/5,1/5,4/5,1/5,4/5,1/5,4/5,X ,Y 相互独立 PX=xi ,Y=yj =P X= xi P Y= yj ,二、如何判断随机变量的相互独立性？,设二维连续型随机向量 (X, Y)N(0, 0, 1, 1, ) 证明： X 与 Y 相互独立的 充分必要条件是 = 0。,例题 2,X 和 Y 相互独立, f ( x，y ) = fX ( x ) fY ( y ), = 0,例3 已知 ( X, Y ) 的联合 d. f.为,(1),(2),讨论X ,Y 是否独立？,解,(1) 由图知边缘 d.f. 为,1,1,显然，,故 X ,Y 相互独立,(2) 由图知边缘 d. f. 为,显然，,故 X ,Y 不独立,判独立的一个重要命题,设 X ,Y 为相互独立的 r.v. u(x),v(y) 为连续函数, 则 U=u ( X ) , V=v (Y ) 也 相互独立.,即,独立随机变量的连续函数仍独立.,二、如何判断随机变量的相互独立性？,若 X ,Y 为相互独立的 r.v.,则a X + b, cY + d 也相互独立；,X 2, Y 2 也相互独立；,随机变量相互独立的概念 可以推广到 n 维随机变量,若,则称 r.v. X 1, X 2 , , X n 相互独立,由命题知,若对于所有的x1 , x 2 , , x m ; y1 , y 2 , , y n 有,设( X1 , X 2 , , X m )和(Y1 , Y 2 , , Y n ),相互独立，,则,X i ( i = 1,2 , , m ),和,Y j ( j = 1,2 , , m ),相互独立。,又若 h , g 是连续函数, 则,h( X1 , X 2 , , X m ),g ( Y1 , Y 2 , , Y n ),和,相互独立。,定理：,其中F1, F2, F依次为随机变量(X1 , X 2 , , X m ), (Y1,Y 2,Y n ),和(X