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文档简介

,二、 间断点及分类,一、 函数的连续性概念,第四节,函数的连续性,第一章,三、 初等函数的连续性,四、 闭区间上连续函数的性质,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,单侧连续,定理,3.连续函数与连续区间,在开区间内每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,二、函数的间断点,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,(4),为其跳跃间断点 .,练习：P35 31 (1) 32（2）,三、初等函数的连续性,定理1 六类基本初等函数在其定义域内是 连续的,定理 5 初等函数在其定义区间内是连续的.,定理4 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u = (x) 在 x0 处连续，且 u0 = (x0) ，则复合函数 f (x) 在 x0 处连续 .,定理 6 若函数 y = f (x) 在某区间上严格单调且连续，,则它的反函数 x = f -1 ( y ) 在对应的区间上也严格单调且连续，且它们的单调性相同，,注意: 若函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,或在闭区间内有间断,在该区间上一定有最大,(证明略),点 ,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定
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