《Green公式》PPT课件.ppt

设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.,单连通区域,复连通区域,一、区域连通性的分类,10.3 Green 公式,平面区域D的边界曲线L的正向: 当观察者沿边界曲线L的正向行走时, 区域D总在他的左边.,L由L1与L2组成,二、Green 公式,定理1: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有,其中L是D的取正向的边界曲线. 公式(1)叫Green公式.,(1),证明(1): 若区域D既是X 型又是Y型, 即平行于坐标轴的直线穿过区域内部时与边界L至多交于两点.,同理可证:,则,两式相加得:,证明(2): 若区域D由分段光滑的闭曲线L围成. 以如图所示为例.,用线段AB, BC将D分成三个既是X型又是Y型的区域D1, D2, D3, 其边界分别为CBA+L1, AB+L2和BC+L3.,则,添加直线段AB, EF. 则区域D的正向边界曲线由EHA(L1), AB, L2, BA, AGE(L1), EF, L3及FE构成.,证明(3): 若区域D由不止一条闭曲线所围成, 如图.,则由证明(2)知,(其中L是D的正向边界曲线),(其中L1, L2, L3构成D的正向边界曲线),Green公式的实质: 沟通了沿闭曲线L上的对坐标的曲线积分与由L围成的闭区域 D上的二重积分之间的联系.,格林公式成立的条件：,1）P, Q 在D上具有一阶连续偏导数; 2）L是闭路.,格林公式的应用计算平面面积,例1 求椭圆 所围成图形的面积A.,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例3 计算 ， 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.,D,L,D,练习,解,(注意格林公式的条件),例4 计算 其中L是由A(0,一1)沿半圆周 到B(0,1)。,A(0,一1),B(0,1),解,利用格林公式，注意L不是闭路,故加作辅助线：直线BA,如果在区域G内有,A,B,1.曲线积分与路径无关的定义,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,定理2 设开区域G是一个单连通域, 函数P,Q在G内具 有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:,2. 曲线积分路径无关的条件,(4) 对G 内任意闭曲线C: .,(3) (x,y) G, ;,(2)在G内存在u(x,y),使得,(1)在G内曲线积分 与路径无关;,证明 (1) (2),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明 (2) (3),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明 (3) (4),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (4) (1),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(4),注,(1)定理条件:,(2) 求u(x,y):使得 du=P(x,y) dx+Q(x,y) dy,注意,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;（折线）,解,例7 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,例8 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,小结,练习 1. 设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原