对坐标的曲面积分1.ppt

2019年6月7日星期五,1,新课引入,上一节我们讲述了对面积的曲面积分， 这一节我们就来讲对坐标的曲面积分。,2019年6月7日星期五,2,第五节 对坐标的曲面积分,第九章,（Surface integral of coordinate),一、对坐标的曲面积分的概念与性质,二、对坐标的曲面积分的计算,三、两类曲面积分之间的联系,四、小结与思考练习,2019年6月7日星期五,3,曲面的侧,设连通曲面 S 上到处都有连续变动的切平面 ( 或法,线 ), 曲面在其上每一点处的法线有两个方向：当取,定其中一个指向为正方向时, 另一个指向就是负方,且不超出 S 边界的闭曲线. 当 S 上的动点 M 从,出发沿 L 连续移动一周而回到 时,2019年6月7日星期五,4,回到 时, 其法线方向与出发时的方向相反, 则称,S 是单侧曲面.,我们通常遇到的曲面大多是双侧曲面. 单侧曲面的,一个典型例子是默比乌斯(Mbius)带. 它的构造方,法如下: 取一矩形长纸条ABCD (如图22-4(a), 将其,重合, B 与 D 重合, 如图22-4(b)所示 ).,出发时 M 与 取相同的法线方向, 而回来时仍,保持原来的法线方向不变,则称该曲面 S 是双侧的.,如果有如下特征:,2019年6月7日星期五,5,默比乌斯( Mbius,A.F. 17901868, 德国 ),2019年6月7日星期五,6,线方向与 z 轴正向的夹角成锐角的一侧称为上侧,另一侧称为下侧. 当 S 为封闭曲面时,法线方向朝外,的一侧称为外侧，另一侧称为内侧. 习惯上把上侧,作为正侧,下侧作为负侧;又把封闭曲面的外侧作为,正侧, 内侧作为负侧.,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,2019年6月7日星期五,7, 曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),2019年6月7日星期五,8,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,2019年6月7日星期五,9,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,播放,2019年6月7日星期五,10,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,2019年6月7日星期五,11,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,12,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,13,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,14,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,15,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,16,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,17,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,18,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,19,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,20,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,21,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,22,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,23,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,24,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,25,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,2019年6月7日星期五,26,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,一、对坐标的曲面积分的概念与性质,1. 有向曲面及其在坐标面上的投影概念,以后如未作特别说明，我们所讨论的曲面都是双侧的.,2019年6月7日星期五,27,的投影区域的面积, 它们的符号由,的方向来确定:,2019年6月7日星期五,28,2. 流向曲面一侧的流量计算,2019年6月7日星期五,29,2019年6月7日星期五,30,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,2019年6月7日星期五,31,2. 求和,2019年6月7日星期五,32,3.取极限,2019年6月7日星期五,33,3. 对坐标的曲面积分的概念,2019年6月7日星期五,34,被积函数,积分曲面,类似可定义,2019年6月7日星期五,35,存在条件:,组合形式:,物理意义:,2019年6月7日星期五,36,4. 对坐标的曲面积分的性质,2019年6月7日星期五,37,二、对坐标的曲面积分的计算,2019年6月7日星期五,38,2019年6月7日星期五,39,2019年6月7日星期五,40,注意:第二型的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,“一投,二代,三定号”,2019年6月7日星期五,41,2019年6月7日星期五,42,2019年6月7日星期五,43,2019年6月7日星期五,44,2019年6月7日星期五,45,例3. 计算,其中 S 是由平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 和 x + y + z = 1,所围的四面体表面的外侧.,解,设 S1 是,取上侧,S2 是S 的底部,取下侧,在 xy 坐标面上的投影区域为 Dxy,先计算积分,2019年6月7日星期五,46,由对称性,2019年6月7日星期五,47,三、两类曲面积分之间的联系,2019年6月7日星期五,48,2019年6月7日星期五,49,2019年6月7日星期五,50,2019年6月7日星期五,51,2019年6月7日星期五,52,2019年6月7日星期五,53,解,2019年6月7日星期五,54,2019年6月7日星期五,55,内容小结,1. 对坐标曲面积分的物理意义,2. 对坐