,2.2离散型随机变量的概率分布.ppt

2.1随机变量的概念,随机试验的结果经常是数量,例如,掷1枚骰子所得点数,记录电话呼唤次数,预报明天的最高气温等 ,所得的可能结果都是数量,有的随机试验虽不是数,但可以将其数量化.,比如,考察抛硬币试验,结果是:“出现正面”或“出现反面”。虽然其结果并不表示为数量，但我们可以把试验结果数量化。如令,则这个有两个可能值的变量X代表了抛1枚硬币这一试验的结果。,作为随机试验的结果，这些数量与以往用来表示时间，位移等的变量有很大的不同，这就是其取值的变化情况取决于随机试验的结果，即是不能完全预言的，这种随机取值的变量就是随机变量。,定义1. 设随机试验E的样本空间为S，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与之对应，则将单值实值函数X=X(e)叫做样本空间S上的随机变量。,随机变量通常用X、Y、Z 或 、等表示。用小写字母x,y,z,表示它们可能的取值。,随机变量的特点:,1 X的全部可能取值是互斥且完备的.,2 X的部分可能取值描述随机事件.,将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。 进行5次试验，事件D=试验成功一次，F=试验至少成功一次，G=至多成功3次.,解 (1)中的样本空间为S=A,B,C, 在样本空间S上定义实函数X(e)如下：,例1引入适当的随机变量描述下列事件：,(2)中试验成功的次数可能为0,1,2,3,4,5次,故样本空间S=0,1,2,3,4,5,在样本空间S上定义实函数X(e)如下：,故A=X(e)=2,B=X(e)=1,C=X(e)=3.,故D=X(e)=1,F=X(e)1,G=X(e)3,随机变量的分类：,如果随机变量X的所有取值可以逐个列举出来(即有限个或可列无限多个)，则称X为离散型随机变量。,如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，则称X为非离散型随机变量。非离散型随机变量范围很广，其中最重要的是连续型随机变量。,X x1 x2 xK Pk p1 p2 pk ,2.2离散型随机变量的概率分布,1离散型随机变量的概念,设X是一离散型随机变量，它的全部取值是有限个或可列无限个，为了描述X ，还必须知道它取各个值的概率，也就是说，要知道它的概率分布情况。,定义2 设离散型随机变量X所有可能取值为xk(k=1,2,3,),则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。,分布律也可以用表格的形式来表示,(1) pk 0, k1, 2, ; (2),例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。 解 k可取值0，1，2,2. 分布律的性质,例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。,解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. SX=0,1,2,3,4,5,(1-p)5,以此类推,可得X的分布律为,几个常用的离散型分布,1. (0-1)分布 设随机变量X只可能取两个值,它的分布律为 PX1p, PX01-p=q (0p1) 则称X服从(01)分布(两点分布),(01)分布的分布律也可以写成,(01)分布是经常遇到的一种分布,例如,投篮中与不中,检查产品的质量是否合格,某车间的电力消耗是否超过负荷,抛硬币试验等都可以用两点分布来描述.,例1 设有一批产品共100件,其中80件正品,20件次品,现从中随机抽取一件,定义随机变量如下,则有PX=0=0.2, PX=1=0.8, 则X服从0-1分布.,若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X B（n,p) ,其分布律为：,定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.,2 伯努利试验(Bernoulli)、二项分布,二项概率,例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。,解 该试验为5重伯努利试验，且,所求概率为,n=5,p=0.7;q=0.3;k=3,例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子, (1) 求恰有粒出苗的概率(0k4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率,(1) 该试验为4 重贝努利试验,解,(2) 设表示至少有2粒出苗的事件,则,例 一批种子的发芽率为80%，试问每穴至少播种几粒种子，才能保证99%以上的穴不空苗。,分析：“穴不空苗”即“至少有一颗种子发芽”,解 假设播n颗种子，则依题意可得,可解得,即,所以，每个穴中宜种3颗种子。,例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.,解:(1)由题意,XB(6,1/3),于是,X的分布律为:,例4. 进行独立重复试验，每次成功的概率为p， 令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布律。,解:,当成功m次时,X的全部取值为:m, m+1, m+2,PX=m+1=P第m+1次试验时成功并且 在前m次试验中成功了m-1次,例5. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。,泊松定理 设随机变量XnB(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，记=np，则,解 设X表示400次独立射击中命中的次数， 则XB(400, 0.02)，故 PX21 PX0P X1 10.98400(400)(0.02)(0.98399)=,上题用泊松定理 取 =np(400)(0.02)8, 故近似地有,PX21 PX0P X1