概率论与数理统计(第五章第3节).pptVIP

1,第三节 中心极限定理,中心极限定理是一系列描述相互独立的随机变量之和的极限分布 (依分布收敛)是正态分布的定理。,设随机变量序列 X1, X2, , Xn, 相互独立, 且数学期望和方差都存在。取其前 n 项求和 X1+ X2+ + Xn , 有,2,3,则有,E(Zn) = 0, D(Zn) = 1, n = 1, 2, ,记 Zn的分布函数为 Fn(x) = P Znx ,如果,称随机变量序列 Xn 服从中心极限定理。,4,介绍最常用的两个中心极限定理。,5,1. 独立同分布的中心极限定理,设随机变量序列 X1, X2, , Xn, 相互独立, 服从相同的分布, 且数学期望和方差都存在, 有,E(Xi) =, D(Xi) =2, i = 1, 2, ,则随机变量序列 Xn 服从中心极限定理。,即,6,7,独立同分布随机变量之和的近似计 算公式,设随机变量 X1, X2, , Xn独立同分布,则当 n 足够大时, 有,其中, = E(Xi), 2 = D(Xi)。,8,例1. (习题五 第7题 P.181) 对敌人进行100 次炮击, 每次炮击时命中炮弹数的均值为 4, 方差为 2.25, 求: 在 100 次炮击中有 380 到 420 颗炮弹命中目标的概率。,解. 设 Xi 为第 i 次炮击命中的炮弹颗数, i = 1, 2, 则有,E(Xi) = 4, D(Xi) = 2.25;,所求概率为,9,由独立同分布中心极限定理, 有,10,例2. (参见复习指南P.86) 路边有一个售报亭, 每个过路人在报亭买报的概率是 1/3, 求: 正好售出 100 份报纸时的过路人数在 280 到 300 之间的概率。,解. 设 X 是正好售出 100 份报纸时的过路人数, Xi 是售出第 i 1 份报纸后到售出第 i 份报纸时的过路人数, 则,11,并且随机变量 X1, X2, , X100 独立同分布, 具有分布律:,以前曾计算过的结论:,i = 1, 2, , 100;,12,由独立同分布中心极限定理, 所求概率,13,2. 棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理,证明: 设 X1, X2, , Xn, 是独立同分布的随机变量序列, 均服从 (0-1)两点分布, 则 Yn = X1+ X2+ + Xn 服从 B(n, p); 而显然有(0-1)两点分布的数学期望和方差都存在。,14,由独立同分布的中心极限定理, 注意到,有,由这个定理, 当 n 足够大时, 二项分布B(n, p) 近似于正态分布 N(np, np(1p), 于是得到重要的近似计算公式:,15,二项分布的近似计算公式,设随机变量 Y B(n, p), 则当 n 足够大时, 有,例3. 随机抽查验收产品, 如果在一批产品中查出10个以上的次品, 则拒绝接收。问至少检查多少个产品, 能保证次品率为 10%的一批产品被拒收的概率不低于0.9。,16,解. 设检查的产品数为 n, 查出的次品数为 X, 则 X B( n, 0.1) , 按题意, 有,P 10Xn 0.9,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有,P 10Xn ,17,于是,故,解出此不等式得 n146.8 或 n68.3,所以至少取 n = 147 能够保证要求。,18,例4. 甲、乙两家电影院竞争 1000 名观众, 假定每个观众独立地随机选择一个电影院, 问: 每个电影院至少应该设多少个座位, 才能保证观众因座位不够而离去的概率小于 0.01 ?,解. 设 X 是选择甲电影院的观众人数, 于是, X B(1000, 0.5), 按题意, 需要确定一个最小整数 m , 使得,P mX1000 0.01,19,由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理, 有,P mX1000