概率随机事件及其概率.ppt

概率论与数理统计,开课系：蚌埠学院 数学与物理系 教师: 亓（qi）洪胜,预备知识,1、乘法原理,一、乘法原理 排列及组合,2、排列,则,特别，当n = r时，称该排列为一个全排列，所有全排列的个数为,例1 从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取五个 组成五位数,问共能组成多少个五位数?,解,从六个不同数中任取五个组成五位数,相当于从六个数中任取五个数生成一个排列,因,此,所有可能组成五位数共有,3、组合,特别，当n = r时， 而且,所以从n个元素中取r个元素组成的组合数为,例 2 从10名战士中选出3名组成一个突击队，问共有多少种组队方法？,解: 按组合的定义，组队方法共有,（种）。,二、集合及其运算,集合：具有某类共同性质的事物的全体。关于集合之间的关系，常见的有以下几种：,1、子集：若A、B为两个集合，且B中所有元素都是A中的元素，则称B为A的子集。,2、并集：由属于A或B的元素全体组成的集合,记为:,记为：,称为A与B的并集。,3、交集：由同时属于A和B的元素组成的集合称为A与B的交集。,记为：,4.差集：由属于A但不属于B的元素组成的元素组成的集合称为A与B的差集。,记为：,关于集合之间的运算规律，这里只介绍对偶律。,5、余集（补集）：若U是包含所有元素的集合， ,称U为全集。（U-A）为集合A在全集U中的余集或补集。,序言 概率论的基本概念,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,为说明什么是随机现象，我们来看这样两个简单的例子 （1）在一个装有10个完全相同的红球的袋子中任意取出一球； （2）在一个装有10个完全相同的球（5红5白）的袋子中任意取出一球,确定性现象:在一定条件下必然发生或必然不发生的现象; 随机现象：在一定条件下有多种可能结果,且事先无法预知哪种结果会出现的现象; 统计规律性:对随机现象进行大量重复观察时,随机现象出现的结果会呈现一定的规律性.我们称之为统计规律性。例如，多次重复试验（2），会发现出现红球与白球的次数大致相同。 概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的学科,第一章 随机事件及其概率,随机事件的关系及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性,1.1随机事件及其概率 一、随机试验(简称“试验”),对随机现象的研究必然需要联系到对客观事物进行“调 查、“观察”或“试验”。以后，我们统称为试验，并假定这种 试验可在相同条件下重复进行。 例1.掷一骰子，观察出现的点数。 每次点数可能不同，但必为1、2、3、4、5、6之中一点 例2.掷一硬币，掷两次，可能出现的结果为（正，正）、 （正，反）、 （反，正）、 （反，反）四种。多次重复这一试验，每次结果可能不同，但必为上述四种情况之一。 以上试验具有以下三个特点：,1.试验可在相同条件下重复进行； 2.每次试验的结果可能不止一个,但事先能确定试验所有的可能结果; 3.进行一次试验之前无法确定哪种结果会出现。 把具有上述性质的试验称为随机试验，简称试验，可表为E（experiment）,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命.,随机试验的例子,二、随机事件,为了研究随机试验，首先要知道这个试验的所有可能出现的结果。 样本点： 试验的每一个可能结果称为样本点或基本事件,记为 样本空间：试验的所有可能结果（即样本点的全体）所组成的集合称为该随机试验的样本空间，记为 随机事件（简称事件）：某些样本点的集合。常用大写字母A,B,C表示。 另外，还有两类特殊的随机事件： 1、在一定条件下必然会发生的事件，称为必然事件（）； 2、在一定条件下必然不发生的事件，称为不可能事件（）；,例：掷一骰子，观察出现的点数 样本空间： =1点，2点，, 6点 随机事件： “出现偶数点”=2点，4点，6点 “点数大于3”=4点，5点，6点,三、事件的关系与运算,概率论中的事件是赋予了具体含义的集合。因此，事件间的关系与运算可以按照集合论中集合间的关系与运算来处理。,1.包含关系 “A发生必导致B发生”记为AB AB AB且BA.,2.相等关系 若AB，且BA ，则称事件A与B相等，记作AB,3.和（or并）运算： “事件A与B至少有一个发生”，则称为事件A与事件B的和，记作AB。（或者A发生，或者B发生，或者A、B同时发生）,4.积（0r交）运算 : 事件A与B同时发生所构成的事件，称为事件A与事件B的积。记作 AB or AB,5.差运算： 事件A发生，而事件B不发生所构成的事件，称为事件A与B的差,记作AB。,6.互不相容（互斥）关系： 若事件A与事件B不能同时发生即AB ，则称事件A与B互不相容。,7. 对立关系 若 AB , 且AB 则称事件A、B互为对立事件。并称事件A是事件B的对立事件（or逆事件），记 易知，在一次试验中，A与 只能发生其中之一，并且必然发生其中之一， 例：“产品合格”与“产品不合格”互为逆事件。 注：对立必互斥，互斥未必对立。,显然:,注意: 对立事件一定互斥,互斥不一定对立.,推广： 和：n个事件A1, A2, An至少有一个发生，记作 积：n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An 两两互斥：若n个事件A1, A2, An中任意两个事件都不能同时发生，即AiAj=,8.事件的运算律:与集合的运算完全一样,(1)、交换律：ABBA，ABBA (2)、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) (3)、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) (4)、对偶(De Morgan)律：,例1：从一批产品中每次取出一个产品进行检验，做不放回抽样，用Ai（i=1，2，3）表示“第i次取到合格品”。试用A1、 A2、 A3表示下列事件：,例2：某运动员参加三项比赛，用 Ai 表示事件“第i项比赛获胜”（i=1,2,3），试用A1,A2,A3 表示下列事件：,（1）只有第一项比赛获胜； （2）只有一项比赛获胜； （3）三项比赛都获胜； （4）至少有一项比赛获胜；,四、 频率与概率,概率与事件一样，是概率论中最重要的概念之一。,频率定义: 事件A在n次重复试验中出现nA 次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n. 频率的稳定性 vv,(一)概率的统计定义,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,概率的定义：实践证明：当试验次数n增大时，事件A的 频率 fn(A) 逐渐趋向一个稳定值P。 称这个稳定值为事件A的概率 记为:P(A) 注：频率与概率是两个不同的概念。 频率依赖于已做过的试验，可变化； 概率是事件的客观属性，不变； 另外，不能简单地理解为P(A)=limnA/n.,概率的性质：,(1) P(A) 0；（非负性） (2) P()1；（归一性（规范性） (3) 有限可加性：若AB ，则 P( A B) P(A) P(B) 推论： P(A)1 P( ); 推广（可列可加性）设A1，A2，是两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ +P(An)+,(4)不可能事件的概率为0，即P()=0 (5)若事件AB，则P(A-B)=P(A)-P(B)， 一般的， P(A-B)=P(A)-P(AB) (6)加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 推广：该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；特别的， 例题：,EX,例1 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例2 在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率。 解:设A取到的数能被2整除; B-取到的数能被3整除,故,Def:若随机试验满足以下两个特征: 1.有限性: 随机试验只有有限个基本事件，即 样本空间 1, 2 , , n 2.等可能性：每次试验中各个基本事件发生的可能性相同，即 P(1)=P(2)=P(n). 则称此试验为古典概型试验，简称为“古典概型”。 （是概率论发展初期的主要研究对象） 例：掷一骰子,(二)概率的古典定义 古典概型及其概率,对于古典概型试验，如果样本空间所含的样本点总数为n，事件A所含样本点个数为m，则事件A的概率为：,例1：掷一枚骰子，求出现点数大于4的概率。,古典概型中的概率计算:,例2 有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少? 解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩, =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,当样本空间的元素较多时，一般不再将元素一一列出， 而只需求出 和A中包含的元素的个数即可。,例3 一批产品由15件正品和5件次品组成，考虑两种抽样方式。 1、放回抽样，每次随机抽取1件，共取3次； 2、不放回抽样，每次随机抽取1件，共取3次； 求取出的3件都是正品的概率。,例4（生日问题）设一年365天，每人在一年中每天出生的可能性相同。求n人中生日至少有两个相同的概率。,解：设A=“n人中至少有两人生日相同”，则 =“n人生日各不相同”，且 所以，,例5（抽签问题 ）设袋中有a个白球，b个红球，现在依次把袋中球一只只摸出来，求第k（ ）次取到的是白球的概率。,解：（法一）考虑全部抽完，所有的球各不相同。 把a只白球及b只红球看作是不同的（例如设想进行编号）。若把摸出的球依次放在排列成一直线上的a+b个位置上。则可能的排列法相当于把a+b个元素进行全排列，总数为Pa+b,把他们作为样本点的全体；所求事件所包含的基本事件数为a Pa+b-1，这是因为第k次摸到白球有a种取法，而另外a+b-1只球进行全排列，有Pa+b-1种，故所求概率为,（法二）仅考虑第k个位置的球的情况。,注：p(A)与k无关，表明取球的顺序不影响取到白球的概率。 “机会均等”原则,(三) 几何概型,早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法几何方法。,定义:若随机试验满足: (1)试验的所有结果为无穷多个,且布满某个区域(或区间); (2)每个结果的发生是等可能的。 则称此试验为几何概率模型试验,简称几何概型. 注：“等可能”应理解为对应于每个试验结果落入某区域内的可能性大小仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置与形状无关。,几何概型的计算:,若设样本空间的几何测度(即区间的长度、平面区域的面积、空间区域的体积等)为(),事件A的几何测度为(A),则事件A的概率为:,例1、长途汽车站每隔30分钟有一辆汽车开出，乘客在不知发车时间的情况下在任何时刻到达车站是等可能的。求该乘客候车时间不超过10分钟的概率。 解：设A=“乘客候车时间不超过10分钟”,用x表示候车时间，则,例2（会面问题）甲、乙两个相约在0到T这段时间内在某地会面，先到的人等候另一个，经过时间 t（tT）离去。设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率？,解:,以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则,若以 x、y 表示平面上点的坐标，而所有可能,到达时刻组成的点可以用平面上边长为T的正方形 内所有的点表示出来，两人能会面的充分必要条件是：,则所求的概率为：,例：袋中有3只白球，2只红球，从袋中一一无放回取球。问 (1)第一次取得红球的概率是多少？ (2)前两次都取得红球的概率是多少？ (3)已知第一次取到的是红球，问第二次取到红球的概率是多少？,?,1.2 条件概率与独立性 一、条件概率,解：设Ai=“第i次取到红球”，i=1，2.则,注意到:,一般地，设A、B是中的两个事件，且P(B)0,则称 为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。记为P(A|B），即,注：重要的是理解定义的含义。最好用古典定义求P（A|B)（注意样本空间的变化），而不是利用公式求。,例1： 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。,解：设 B-从盒中随机取到一只红球. A-从盒中随机取到一只新球.,A,B,例2：某种动物能活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现在该动物已经20岁了，问它能活到25岁的概率是多少？,二、乘法公式,设A、B，P（B）0,则 P(AB)P(B)P(A|B). 称为事件A、B的概率乘法公式。,可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).,例3 一箱产品有100件，次品率为10%，出厂时作不放回抽样，开箱连续地抽验3件。若3件产品都合格,则准予该箱产品出厂。求一箱产品准予出厂的概率。,解:设事件Ai为“抽到第i件为正品”(i=1,2,3)则事件“一箱产品准予出厂”可表示为A1A2A3 因为 ， P(A1)=90/100=0.9,P(A2|A1)=89/99=0.899, P(A3|A1A2)=88/98=0.898 所以，P(A1A2A3)= P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)=0.7265,例4 现有车票10张,其中6张甲票,4张乙票.今连续 抽取三次,去后不放回.求 (1)已知前两次取得甲票的情况下, 第三次取得甲 票的概率. (2)三次都取得甲票的概率.,例5、一批产品有100个，次品率为10%，不放回的分别抽取2个零件。求第2次才取到正品的概率。,例6 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,三、全概率公式,概率论的一个重要内容，就是希望通过已知的简单事件的概率来计算出未知的较复杂事件的概率。为此，经常地通过把一复杂的事件分解成若干个互不相容的简单事件，然后利用加法公式求得复杂事件的概率。在这类计算中，全概率公式起着重要作用。,1、完备事件组,设有n个事件B1， B2， Bn。若满足: (1) BiBj=(ij),i=1,2, ,n (2) B1 U B2 U U Bn = 则称B1， B2， Bn构成一个完备事件组。 2、全概率公式 设B1， B2， Bn为一完备事件组，且P(Bi)0 (i=1,2, ,n),则对于任意事件A,有,析：对任意A, 由B1， B2， Bn互不相容可知，AB1, AB2, ABn互不相容，故,特别的，n=2时，,例1：有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4；若乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为 1/4,1/3,1/12 ,而乘飞机则不会迟到。求 1）他迟到的概率？ 2）若他迟到了，那他乘火车来的概率是多少？,解：设B1,B2,B3,B4分别表示事件“乘火车、轮船、汽车、飞机”，A表示“朋友迟到”，则 1）由全概率公式，,例2 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,解：设B1从甲袋放入乙袋的是白球； B2从甲袋放入乙袋的是红球； A从乙袋中任取一球是红球；,甲,乙,定理2 设事件B1，B2, Bn构成一完备事件组，且P(Bi)0，(i1，n)，则对任何事件A，P(A) 0，有,称为贝叶斯公式。,思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？,答:,四、贝叶斯（Bayes）公式,析：,特别的，n=2时，,例1 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes公式:,例2 数字通讯过程中，信号源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号,问发端发的是0的概率是多少?,0.067,解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号,0 (0.55),0 1 不清,(0.9) (0.05) (0.05),1 (0.45),1 0 不清,(0.85) (0.05) (0.1),注：全概率公式是已知原因，求结果； 贝叶斯公式是已知结果，溯求原因。,条件概率,条件概率 小 结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,五、事件的独立性,例:掷一枚硬币两次，观察正反面出现的情况。设A,B分别表示都一次、第二次出现正面。,解：样本空间为,从而,我们注意到：此时,从直观分析可知，事件B的发生完全不受事件A发生与否的影响；同样，事件A的发生也完全不受事件B发生与否的影响。于是，称这样的两个事件是相互独立的。,定义 设A、B是两事件，若满 P(AB)P(A)P(B) 则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。,性质1：若P(B)0,则A、B独立 P(A|B)=P(A),证明：由定义：若A、B相互独立，则 P(AB)P(A)P(B) 所以,性质2：以下四个结论是等价的： (1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立； (3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。,证明：设A与B相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B) 所以， P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB) = P(B)- P(A)P(B)=P(B)(1-P(A) =P(B)P(A),例：甲、乙两人同时独立的向同一目标射击，已知甲的命中率为0.72，乙的命中率为0.55。求目标被击中的概率。,解：设A=“甲击中目标”，B=“乙击中目标” 则AUB=“目标被击中” 从而，,推广：若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。,注：1、必须四个式子同时成立，前三个表示 A，B，C两两独立； 2、相互独立必两两独立；反之，未必。,一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对 所有可能组合1ijkn成立: P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 则称n个事件A1，A2，An相互独立。,例：设人们上街被盗的概率为 ，问某人上街n天发生被盗的概率是多少？,解：设Ai=“第i天被盗”，i=1,2,n,则,注：,例：在可靠性理论上的应用 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,由全概率公式,六、独立试验概型,1、重复独立试验 在相同条件下重复做某种试验n次, 且每次试验的结果互不影响,则称这n次试验为n次重复独立试验。,3、n重贝努里试验 将贝努里试验重复的进行n次，并把这n次试验作为一个试验。,2、贝努里试验 每次试验的结果只有两个。,定理 在贝努里概型中，P(A)=p (0p1),则事件A在n次试验中恰好发生k次的概率为：,例1 一批产品中有20%的次品，现进行重复抽样，共抽取5件样品，分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率？,解 设 表示“5件样品中恰好有i件次品”,利用二项概率公式可得,B表示“5件样品中至多有3件次品”,例2 三重贝努里试验中，至少有一次试验成功的概率为37/64，求每次试验成功的概率。,解：记每次试验成功的概率为p，设事件A为“至少有一次试验成功”，则事件 为“三次试验均未成功”,于是,第一章 小结 本章由六个概念 （随机试验、事件、概率、条件概率、独立性） 四个公式 （加法公式、乘法公式、全概