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3.1 不定积分的定义及直接积分法,第3章 积分及其应用,3.1.1 原函数的概念,定义3.1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x),使得对任意xI,均有,则称函数F(x) 为f(x) 在区间I上的一个原函数.,原函数的两点说明,如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内 存在原函数.,(2) 如果函数F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，即,，则f(x)的所有原函数可表示为,F(x)+C(其中C为任意常数）,3.1.2 不定积分的概念,定义3.2 函数f(x)的全体原函数F(x) + C称为f (x)的,积分变量,被积表达式,任意常数,例3.1 求,解,因为,因此,例3.2 求,解,因为,因此,例3.3 求,内的一个原函数.因此，在 内，,当 x0 时，由于,所以,把在 x0 及 x0 内的结果合起来，可写作,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,结论：,3.1.3 不定积分的性质,性质1,性质2,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,性质3,性质4,例3.4 求,解,例如,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,3.1.4 基本积分公式,类似地可以得到其他积分公式.下面我们把 一些基本的积分公式列成一个表，这个表通 常叫做基本积分表,是常数);,例3.5 求,直接积分法直接应用公式、性质或经过简单的代数、三角恒等变形后积分,解,根据积分公式（2）,例3.6 求,解,例3.7 求,解,例3.8 求,解 因为,所以可把3e看作a，并利用积分公式 ，便得,例3.9 求,解,例3.10 求,解,（2）三角恒等式变形,例3.11 求,解,加项减项,例3.12 求,解,加项减项,解 设曲线方程为y=f(
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