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对坐标的曲面积分,一、基本概念,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,设曲面 是光滑曲面， 是曲面上任一定点曲面,在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择,其中之一为指定的法线方向，记为 又设L是光滑,曲面 上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从,而，当动点M从 出发沿闭曲线L连续移动时，曲面,在点M的法线方向也随之连续变动若M回到 时,得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面 为双侧曲面；,若存在这样一条闭曲线，当点M沿这条闭曲线移动后,再回到点 时得到的法线方向与 相反，则称曲面,为单侧曲面,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,典型双侧曲面,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面的投影问题:,类似地可定义,二、概念的引入,实例: 流向曲面一侧的流量.,1. 分割,则该点流速为 .,法向量为 .,2. 求和,3.取极限,三、概念及性质,积分曲面,被积函数,有向面积元,类似可定义,存在条件:,组合形式:,物理意义:,性质:,由定义可知对坐标的曲面积分具有与 对坐标的曲线积分相类似的性质,1。 可加性,2 。 反向性,四、对坐标的曲面积分的计算法(描述代人法）,注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,这就是把对坐标的曲面积分化成二重积分的计算公式,概括为：,代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入 被积函数，将其化成二元函数,投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy） 中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）,定号： 由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号,一代、二投、三定号,注,积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，结果相加,确定正负号的原则： 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 曲面取下侧、后侧、左侧时为负,解,例1,22,例2 计算,及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧,解,上侧,下侧,外侧,（用极坐标）,例3 计算,平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧,o,x,y,z,解,分成四个部分,左侧,下侧,后侧,上侧,同理,同理,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,例4,解,注,此例的解法具有普遍性,六、小结,1、物理意义,2、计
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