空间距离及其计算、折叠问题.ppt

新课标高中一轮总复习,第九单元 直线、平面、简单几何体和空间向量,第66讲,空间距离及其计算、折叠问题,1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法. 2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则.,1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为( ),C,A. a B. a C. a D. a,如图，点A到直线A1C的距离，即为RtA1AC斜边上的高AE. 由AB=BC=a,得AC= a. 又AA1=2a,所以A1C= a, 所以AE= = a.,2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( ),B,A. B. C. D.,取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM平面A1BC. 作AHA1M，垂足为H,则AH平面A1BC. 在RtA1AM中，AA1=1，AM= ,A1M=2, 故AH= .,3.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a, E、F分别是B1C1、BB1的中点，则： (1)直线EF与CD间的距离为 ; (2)直线EF与平面D1AC1的距离是 ; (3)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 .,a,a,a,(1)取EF的中点G，连接CG，则CG为异面直线EF与CD的公垂线段，且CG= a. (2)易知EF平面D1AC1.过E作EHBC1于H. 因为D1C1平面BB1C1C，所以D1C1EH, 故EH平面D1AC1，从而EF与平面D1AC1的距离为EH= a. (3)因为平面AB1D1平面C1BD,连接A1C,设A1C分别与平面AB1D1和平面C1BD交于O1、O2,则O1O2为所求距离,且O1O2= A1C= a.,4.如图，四边形ABCD中，ADBC，AD=AB，BCD=45，BAD=90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是( ),D,A.平面ABD平面ABC B.平面ADC平面BCD C.平面ABC平面BCD D.平面ADC平面ABC,由已知BAAD,CDBD，又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD. 从而CDAB,又BAAD,故AB平面ADC. 又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.,一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的 的长度. 2.点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线， 的长度. 3.点到平面的距离：自点向平面引垂线， 的长度. 4.平行直线间的距离：从两条平行线中的一条上任意取一点向另一条直线引垂线, . 的长度.,线段,点到垂足之间线段,点到垂足间线段,到垂足间线段,点,5.异面直线间的距离:两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的 的长度. 6.直线与平面间的距离:如果一条直线和一个平面平行,从这条直线上任意一点向平面引垂线, 的长度. 7.两平行平面间的距离：夹在两平行平面之间的 的长度.,线段,这点到垂足间线段,公垂线段,二、求距离的一般方法与步骤 1.两点间距离、点到直线的距离和两平行线间的距离其实是平面几何中的问题，可用 求解. 2.平行直线与平面间的距离、平行平面间的距离可归结为求 的距离. 3.求距离的基本步骤是：()找出或作出有关距离的图形；()证明它符合定义；()在平面图形内计算.,平面几何方法,点面间,三、折叠问题 1.概念：将平面图形沿某直线翻折成立体图形，再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某几何量进行论证和计算，就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则： (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系； (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持 .,不变,例1,题型一 点面距离和线面距离及求法,如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC= ,AB=BC= AD=a,PA平面ABCD,且PA=a，点F在AD上，且CFPC. (1)求点A到平面PCF的距离； (2)求AD与平面PBC间的距离.,（1）通过论证平面 PAC平面PCF，找到点A在平面PCF上的射影H位于PC上，然后解三角形求AH的长. （2）由于AD平面PBC，可考虑依据问题情境在AD上选择具备特殊位置的点A，然后推理过A点的平面PAD平面PBC，找到过点A的垂线.,(方法一)(1)连接AC.因为PA平面ABCD，所以PACF. 又CFPC，PAPC=P， 所以CF平面PAC， 所以平面PFC平面PAC. 过点A作AHPC于H，所以PH平面PCF， 即AH为点A到平面PCF的距离. 由已知AB=BC=a，所以AC= a,PC= a. 在RtPAC中，得AH= a.,(2)因为BCAD，BC 平面PBC， 所以AD平面PBC. 过A作AEPB于E， 又AEBC,PBBC=B,所以AE平面PBC, 所以AE的长度即为所求的距离. 在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a, 所以AE= a.,（方法二）(1)建立空间直角坐标系，如图. 则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a). 设F(0,y,0). 则 =(-a,y-a,0), =(-a,-a,a). 因为PCCF,所以 ， 所以 =(-a)(-a)+(-a)(y-a)+0a =a2-a(y-a) =0.,所以y=2a，即F(0,2a,0). 设平面PCF的法向量为n=(x,y,z), n =-ax+ay=0 x=y n =-ax-ay+az=0 z=2x. 取x=1，得n=(1,1,2). 设点A到平面PCF的距离为d, =(a,a,0), 则d= = = a.,则,，解得,(2)由于 =(-a,0,a), =(0,a,0), =(0,0,a). 设平面PBC的法向量为n1=(x0,y0,z0)， n1 =-ax0+az0=0 x0=z0 n1 =ay0=0 y0=0. 取x0=1，得n1=(1,0,1). 设点A到平面PBC的距离为h，因为AD平面PBC，所以h为AD到平面PBC的距离， h= = = a.,由,，得,线面距离、面面距离通常情况下化归为点面距离求解，求空间点面距离，若利用传统构造法，关键是“找射影”，一般是应用垂面法求射影.若利用向量法，建系和求平面法向量是关键.,如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=2，AB=1，ABC=90.点D、E分别在BB1、A1D上，且B1EA1D，四棱锥CABDA1与直三棱柱的体积之比为35.求异面直线DE与B1C1的距离.,因为B1C1A1B1，且B1C1BB1，A1B1BB1=B1， 故B1C1平面A1ABB1，从而B1C1B1E. 又B1EDE， 故B1E是异面直线B1C1与DE的公垂线段. 设BD的长为x，则四棱锥CABDA1的体积为 V1= S四边形ABDA1BC = (DB+A1A)ABBC = (x+2)BC.,而直三棱柱ABCA1B1C1的体积为 V2=SABCAA1= ABBCAA1=BC. 由已知条件V1V2=35,故 (x+2)= , 解得x= .从而B1D=B1B-DB= . 在RtA1B1D中， A1D= = = . 又因为SA1B1D= A1DB1E= A1B1B1D, 故B1E= = .,例2,题型二 折叠问题,在直角梯形ABCD中，D=BAD=90，AD=DC= AB=a(如图），将ADC沿AC折起，使D到D，记平面ACD为，平面ABC为，平面BCD为（如图）.,（1）若二面角-AC-为直二面角，求二面角-BC-的大小； （2）若二面角-AC-为60，求三棱锥D-ABC的体积.,(1)在直角梯形ABCD中，由已知DAC为等腰直角三角形， 所以AC= a, CAB=45. 过点C作CHAB,由AB=2a， 可推得AC=BC= a， 所以ACBC. 取AC的中点E，连接DE，则DEAC. 又二面角-AC-为直二面角,所以DE.,又因为BC平面，所以BCDE， 所以BC. 而DC ，所以BCDC， 所以DCA为二面角-BC-的平面角. 由于DCA=45， 所以二面角-BC-的大小为45.,(2)取AC的中点E，连接DE，再过点D作DO，垂足为O，连接OE. 因为ACDE，所以ACOE， 所以DEO是二面角-AC-的平面角， 所以DEO=60. 在RtDOE中，DE= AC= a， DO=sin60DE= a， 所VD-ABC= SABCDO= ACBCDO, = a a a= a3.,分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系.,如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图). (1)证明：ACBO1； (2)求二面角OACO1的正弦值.,（方法一）（1）证明：由题设知，OAOO1，OBOO1, 所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 从而AO平面OBCO1. OC是AC在面OBCO1内的射影. 因为tanOO1B= = ,tanO1OC= = , 所以OO1B=60，O1OC=30, 从而OCBO1，由线面垂直得ACBO1.,(2)由(1)知,ACBO1,OCBO1,知BO1平面AOC. 设OCO1B=E,过点E作EFAC于F,连接O1F, 则EF是O1F在平面AOC内的射影. 由线面垂直得ACO1F， 所以O1FE是二面角O-AC-O1的平面角. 由已知，OA=3，OO1= ，O1C=1， 所以O1A= =2 ,AC= = ， 从而O1F= = .又O1E=OO1sin30= , 所以sinO1FE= = .,(方法二)(1)证明:由题设知 OAOO1,OBOO1. 所以AOB是所折成的直 二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如右图.则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0)，C(0,1, )，O1(0,0, ). 从而 =(-3,1, ), =(0,-3, ), 故 =-3+ =0，所以ACBO1.,(2)因为 =-3+ =0, 所以BO1OC. 由(1)知ACBO1，ACOC=C， 所以BO1平面OAC， 所以 是平面OAC的一个法向量. 设n=(x,y,z)是平面O1AC的一个法向量， n =0 -3x+y+ z=0 n =0 y=0，,由,，得,取z= ,得n=(1,0, ). 设二面角OACO1的大小为，由n、 的方向可知=n, ， 所以cos=cosn， = = = ， 则sin= . 即二面角OACO1的正弦值为 .,1.对于空间中的距离，我们主要研究点到平面的距离、直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离，其重点是点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作法，一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离也可以用等体积法. 2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计算”，即先作出表示距离的线段，再证明它是所求的距离，然后再计算.其中第二步证明易被忽略，应当引起重视.,3.在求距离时，要注意各种距离的转化；在选择求距离的方法时，也要灵活.一般来说，空间关系在不太复杂的情况下使用传统方法，而在距离不好作、空间关系较复杂的条件下可用等积法. 4.将平面图形折叠，使形成立体图形，通过对折叠问题的研究进一步树立空间概念，提高空间想象能力.,5.平面图形折叠成空间图形，主要抓住变与不变的量，所谓不变的量，即是指“未折坏”的元素，包括“未折坏”的边和角，一般优先标出未折坏的直角（从而观察是否存在线面垂直），然后标出其他特殊角，以及所有不变的线段.,(2009重庆卷)如图所示，在四棱锥S-ABCD中，ADBC且ADCD；平面CSD平面ABCD，CSDS，CS=2AD=2;E为BS的中点, CE=2,AS=3.求： (1)点A到平面BCS的距离； (2)二面角E-CD-A的大小.,(方法一)(1)因为ADBC,且BC平面BCS，所以AD平面BCS，从而点A到平面BCS的距离等于点D到平面BSC的距离.因为平面CSD平面ABCD，ADCD，故AD平面CSD，从而ADDS.由ADBC，得BCDS.又CSDS，故DS平面BSC，从而DS为点D到平面BCS的距离.因此，在RtADS中，DS= =3-1=2.,(2)如图所示,过点E作EGCD,交CD于点G,又过点G作GHCD,交AB于H,故EGH为二面角E-CD-A的平面角,记为.过点E作EFBC,交CS于点F， 连接GF.故= -EGF. 由于E为BS的中点， F为CS的中点故CF= CS=1. 在RtCFE中,EF= =2-1=1.,因为EF平面CSD，又EGCD， 故可证得FGCD， 从而又可得CGFCSD， 因此 = . 而在RtCSD中,CD= = = , 故FG= DS= = . 在RtEFG中，tanEGF= = ， 可得EGF= ， 故所求二面角的大小为= .,(方法二)(1)如图所示，以S(O)为坐标原点，射线SD、SC分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系.设A(xA，yA,zA). 因为平面COD平面ABCD， ADCD，故AD平面COD， 即点A在xOz平面上， 因此yA=0,zA=| |=1. 又xA2+12=| |2=3，xA0，解得xA= .,从而A( ，0，1).因ADBC，故BC平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA= . (2)易知C(0，2，0)，D（ ，0，0）. 因为E为BS的中点，BCS为直