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文档简介

上次课回顾,2.3 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,1.定义,若在自变量 x 的某个变化过程中, f (x)以0为极限, 即,lim f (x) = 0,则称 f (x) 为该变化过程中的无穷小量.,注: (1) 无穷小量是一个变量，除0以外，任何一个数无论它有多小都不是无穷小量(为什么？). 因此不要把无穷小量与一个很小的数混为一团.,(2) 称一个函数是无穷小量时， 一定要明确指出自变量的变化趋势.,无穷小量与函数极限的关系,定理: 变量y以A为极限的充要条件是: 变量y等于A与一个无穷小量的和.,与y取极限过程相同,零是无穷小量中唯一的一个常数,无穷小量的性质,1. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,2.有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,3.无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小.,例1. 求,同理有,二、无穷大量,在自变量的变化过程中，相对于无穷小的绝对值无限变小的变化趋势，函数还有一种变化趋势，即就是绝对值无限增大的情形.,例如, 当 x0时，,的绝对值会无限增大.,定义,对于任意给定的正数M,在自 变量的变化过程中，因变量y变化到一定程度以后，恒有 |y| M则称 y 在此变化过程中为无穷大量。记作,注,Lim下方没有注明自变量变化趋势,表明对各 种极限都成立.,例如：,注： (1) 无穷大量是一个变量，一个数无论再大也不是无穷大量.,(2) 称一个函数是无穷大量时，必须明确指出自变量的变化趋势.,(3) lim f (x)= 仅仅只是一个记号，它并不代表函数的极限值存在.,例2. 当 x时，sinx 与 cosx 是否为无穷大量？,解：由于当x时，sinx与 cosx 的图形总是在1与1之间来回摆动，其函数值不会无限增大，故它们都不是无穷大量.,无穷大的性质,(1)无穷大与有界变量的代数和是无穷大 .,(2)无穷大与非零常数的乘积是无穷大.,(3)无穷大与无穷大的乘积是无穷大.,利用上述性质我们可以推出如下结论：,结论,三、无穷小量与无穷大量之间的关系,定理：在自变量的某个变化过程中,例3. 指出下列函数变化趋势,同步练习P2 10,例4,四、为什么要学习无穷小和无穷大量？,对一个函数而言，在自变量的某个变化过程中，其要么有极限，要么无极限，二者必居其一，且仅居其一.无穷小恰为极限存在时的特殊情况，无穷大是极限不存在时的特殊情况.只要抓住这两种特殊情形，就可以有助于解决一般性的问题.,五、极限不存在时的几种情形,1.单侧极
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