随机变量及其分布1.ppt

概率论与数理统计,1、随机变量及其分布函数,随机变量就是“取值随机会而定”的变量，正如 随机事件是“发生与否随机会而定”的事件。机会表 现为试验结果，一个随机试验有许多可能的结果， 到底出现哪一种要看机会，即有一定的概率。,例如，掷一枚骰子出现的点数X就是一个随机 变量，它可以取1,2,3,4,5,6的六个值，到底取哪个值 要等掷了骰子后才知道。可见，随机变量就是试验 结果的函数。,概率论与数理统计,引例1 设随机试验E：抛一枚硬币，观察正面 H与反面T的出现情况。,样本空间为=H，T，现在我们将试验的每个结果(样本点)与一个实数建立联系,即相当于在上定义一个函数:,这样一来,“出现正面H”的事件为X=1, “出现反面 T”的事件为X=0,且易知,概率论与数理统计,引例2 设随机试验E：测试灯泡寿命(小时).,样本空间为 =t|t0，现在我们将试验的灯泡寿命记为X,令,事件“灯炮寿命在10002500小时”就可表示为,则X是定义在样本空间为 =t|t0上的函数，其值域 为| 且取值具有随机性.,概率论与数理统计,一、随机变量,X=X() ( ),为随机变量,记为r.v.X.(random variable X)。,定义1 设随机试验E的样本空间为 =,称定义在上单值实值函数,随机变量是定义在样本空间上的单值实值函数, 且以一定的概率随机地取每个值.,随机变量通常用大写字母X,Y,Z,或希腊字母, , ,.等表示.,概率论与数理统计, 普通函数的定义域是实数 集,而随机变量的定义域是样本空 间(样本点不一定为实数);,随机变量与普通函数的区别, 普通函数随自变量的变化所取的函数值无概 率可言,而随机变量随样本点(试验结果)的变化所取 的函数值是具有一定概率的,且因试验的随机性使得 随机变量的取值也具有随机性,即知道随机变量的取 值范围,但在一次试验前无法确定它取何值.,概率论与数理统计,用随机变量来描述随机事件,一般,对于任意实数集L,随机变量X在L上取值,记 为XL,它表示事件|X()L,即一切使随机变量X取值在L上的样本点所构成的事件,从而,在随机试验E的样本空间上定义了一个随机变量后，就可以利用它来表示随机事件。,可见，随机事件是包含在随机变量这个更广的概 念之中。随机变量的研究是概率论的中心内容。,概率论与数理统计,例:在试验E:“掷一枚骰子,观察出现的点数”中, 如果定义随机变量,X=k(=“出现k点”,k=1,2,3,4,5,6),则事件“出现偶数点”就可表示为,显然,X1,3,5表示“出现奇数点”, X1为不可能事件,XR为必然事件,等等.,X2,4,6,事件“出现3点”就可表示为,X=3.,概率论与数理统计,总之，随机变量X有如下特点:, X是定义在样本空间上的单值实值函数,其定 义域为样本空间,值域为实数集 ;, 利用X可以描述随机事件;, X的取值是随机的,且取值具有一定的概率.,随机变量,离散型,非离散型,连续型,其它,概率论与数理统计,在实际问题中，有两类重要的随机变量：,1、离散型随机变量取值有限或可列无限,实例1 观察掷一个骰子出现的点数。随机变量X的可 能值是1，2，3，4，5，6； 则事件“出现偶数 点”就可以表示为XL=|X() L,其中 L=2,4,6；事件“出现3点”可表示为X=3； X1为不肯能事件；XR 为必然事件；,实例2 若随机变量X记为“连续射击，直至命中时的 射击次数”，则X可能值1，2，3，,概率论与数理统计,2、连续型随机变量取值充满一个区间,实例1 随变量X为“灯泡的寿命“，则X的取值 范围为 ;,实例2 随机变量X为“测量某零件尺寸时的测量误 差”，X的取值范围为(a,b)的任意值。,概率论与数理统计,二、分布函数,定义2 设X为随机变量,x为任意实数,函数,称为随机变量X分布函数。,分布函数F(x)是随机事件Xx的概率,它是一 个普通函数,因而可用微积分的方法来研究随机变量.,随机点,实数点,定义域为全体实数,概率论与数理统计,问： 在上 式中，X, x 皆为变量. 二者有什么区 别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？,X是随机变量, x是参变量.,F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.,概率论与数理统计,由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 的概率为：,P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1),因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.,概率论与数理统计,分布函数F(x)具有下列性质:,、 0F(x)1;,、F(-)=0,F(+)=1；确定待定参数,、F(x)至多有可列个间断点,且在间断点处是 右连续函数。 确定待定参数,注意这些性质在图形上的表现,、F(x)是单调不减函数,即当x1x2时有,F(x1) F(x2) 。,、PaXb=F(b)-F(a) 分布函数计算概率,函数F(x)为一个随机变量的分布函数的充要条件 是F(x)满足上述前4条。,概率论与数理统计,重要公式,证明,概率论与数理统计,【例1】,设随机变量X的分布函数为,试求: (1) 系数A，B；（2）X落在（-1，1中的概率。,解,（1）因为 F(-)=0， F(+)=1,所以,解得,概率论与数理统计,（2）由分布函数得,分布函数完全刻画了随机变量的统计规律性。利 用分布函数可以计算随机事件的概率。,概率论与数理统计,【例2】 已知随机变量X在整个实数轴上取值，其 分