《和15极限运算法则》PPT课件.pptVIP

1.4 无穷大、无穷小,一、无穷大,定义:设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数(或X), 使得对于适合不等式0X)的一切x, 对应的函数值f(x)都满足|f(x)|M. 那末称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大.并记作,特殊情形: 正无穷大, 负无穷大. 即,注意:,2.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,4. 如果f(x)是当xx0时无穷大量，则f(x)在点x0附近一定无界, 但反过来却不一定成立.,1.称函数为无穷大, 必须指明自变量的变化过程;,二、无穷小,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,定义：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零，那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小。,注意:,1.称函数为无穷小, 必须指明自变量的变化过程;,2.无穷小是变量, 不能与很小的数混淆;,3.零是可以作为无穷小的唯一的数.,定理1:,f (x)=A+(x),其中(x)是当xx0时的无穷小.,无穷小与函数极限的关系:,无穷小与无穷大的关系,定理2: 在自变量的同一变化过程中, 无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,一、无穷小的运算性质:,定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,1.5 极限运算法则,例,一、无穷小的运算性质:,定理1: 在自变量的同一变化过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意:无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,1.5 极限运算法则,二、极限运算法则,定理3,推论1:,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2:,定理4,三、复合函数极限,定理5: (复合函数极限运算法则 变量代换法则）,极限过程的转化,四、求极限方法举例,例1,注:如果将,可得类似的定理。,多项式与分式函数代入法,结论:,若Q(x0)=0, 则商的法则不能应用.,例2,例3,消去零因子法,例4,无穷小因子分出法,例5,无穷小因子分出法: 以分母中自变量的最高次幂除分子, 分母, 以便分出无穷小, 然后再求极限.,小结:,例7,利用无穷小运算性质,例8,例9,例10,利用极限的运算法则,例6,1、无穷小的性质；,注意：无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小.,五、小结,2、极限的四则运算法则及其推论；,4、极限求法;,1. 多项式与分式函数代入法求极限; 2. 消去零因子法求极限; 3. 无穷小因子分出法求极限; 4. 利用无穷小运算性质求极限; 5. 利用极限的四则运算法则； 6. 利用左右极限求分段函数的极限.,3、复合函数极限运算法则;,思考题1解答,1. 没有极限. 假设f(x)+g(x)有极限, 又因f(x)有极限,由极限运算法则可知: g(x)= f(x)+g(x) f(x)必有极限.与已知矛盾. 2. 不能确定.,思考题1,在某个过程中, 1. 若 f(x)有极限, g(x)无极限, 那么 f(x)+g(x)是否有极限?为什么? 2. 若 f(x)和