高考理科数学复习课件6.ppt

第14讲 导数的应用,第14讲 导数的应用,知识梳理,1函数的单调性 若函数f(x)在某区间内可导，则f(x)0f(x)在该区间上_；f(x)0f(x)在该区间上_ 反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有_恒成立；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有_恒成立 2函数的极值 (1)函数极值的定义 已知函数yf(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取_，记作_，并把x0称为函数f(x)的一个_；,第14讲 知识梳理,单调递减,单调递增,f(x)0,f(x)0,极大值,y最大值f(x0),极大值点,如果在x0附近都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取_，记作_，并把x0称为函数f(x)的一个_； 极大值与极小值统称_，极大值点与极小值点统称为_ (2)求函数极值的方法 第1步：求导数f(x)； 第2步：求方程f(x)0的所有实数根； 第3步：当f(x0)0时，如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值,第14讲 知识梳理,极小值,y最小值f(x0),极小值点,极值,极值点,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,第14讲 知识梳理,3函数的最值 (1)函数f(x)在a，b上必有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图像_，那么它必有最大值和最小值 (2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的_； 将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 4f(x)m恒成立等价于_；f(x)m恒成立等价于_ 5函数f(x)ax3bx2cxd(a0)有极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，若函数有三个零点，则_；函数有两个零点，则_；函数有且仅有一个零点，则_,是一条连续不断的曲线,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),mf(x)min,mf(x)max,f(x1)0且f(x2)0,f(x1)0或f(x2)0,f(x1)0,要点探究, 探究点1 利用导数研究函数的单调性,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,点评 (1)利用导函数的性质比用函数单调性的定义要方便，它是根据导函数的正负性确定函数的单调性；(2)两个单调递增区间不能“并”起来函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行,第14讲 要点探究,变式题,如果函数yf(x)的图像如图141，那么导函数yf(x)的图像可能是( ),图141,图142,第14讲 要点探究,答案 A,解析 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况，依次是“正、负、正、负”，即导函数的图像与x轴的位置应是“上、下、上、下”，符合规律的只有A,思路 由原函数的图像变化趋势是“增、减、增、减”，运用“增则正，减则负”规律，即可判断导函数的图像,点评 解决此类问题时，审题应看清已知条件是导函数还是原函数，然后用“导数的正负性决定原函数的增减性”原则进行判断,第14讲 要点探究,变式题,已知f(x)exax1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围； (3)是否存在a，使f(x)在(，0上单调递减，在0，)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由,思路 (1)通过解f(x)0求单调递增区间；(2)转化为f(x)0在R上恒成立问题，求a；(3)假设存在a，则f(0)是f(x)的极小值，或转化为恒成立问题,第14讲 要点探究,解答 (1)f(x) exa.若a0，f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上递增若a0，exa0，exa，xlna，f(x)的递增区间为(lna，) (2)f(x)在R内单调递增，f(x)0在R上恒成立exa0，即aex在R上恒成立a(ex)min，又ex0，a0. (3)方法一：由题意知exa0在(，0上恒成立aex在(，0上恒成立ex在(，0上为增函数，x0时，ex最大为1.a1，同理可知exa0在0，)上恒成立，aex在0，)上恒成立，a1. 综上所述，a1. 方法二：由题意知，x0为f(x)的极小值点f(0)0，即e0a0，a1，经检验a1符合题意,第14讲 要点探究,点评 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题，常转化为其导函数f(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于等于0(单调减函数)恒成立问题有时问题也可以借助集合的思想解决, 探究点2 利用导数研究函数的极值与最值,第14讲 要点探究,例2 已知aR，讨论函数f(x)ex(x2axa1)的极值点的个数,解答 f(x)ex(x2axa1)ex(2xa)exx2(a2)x(2a1)， 令f(x)0得x2(a2)x(2a1)0. (1)当(a2)24(2a1)a24aa(a4)0， 即a4时x2(a2)x(2a1)0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1x2. 于是f(x)ex(xx1)(xx2)，从而有下表：,第14讲 要点探究,即此时f(x)有两个极值点 (2)当0即a0或a4时，方程x2(a2)x(2a1)0有两个相同的实根x1x2.于是f(x)ex(xx1)2.故当x0，当xx2时f(x)0，因此f(x)无极值 (3)当0， f(x)exx2(a2)x(2a1)0，故f(x)为增函数，此时f(x)无极值因此当a4或a0时，f(x)有两个极值点，当0a4时，f(x)无极值点,第14讲 要点探究,例3 函数f(x)ax36ax2b在1,2上的最大值为3，最小值为29，求a，b的值,解答 由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去) 当a0时，列表如下：,第14讲 要点探究,由上表可知，当x0时，f(x)取得极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3.又f(1)7a3，f(2)16a3，f(2)f(1)，x2时函数在1,2上取得最大值，f(2)16a293，a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.,第14讲 要点探究,变式题,2010宝鸡模拟 已知函数f(x)axlnx在点(e，f(e)处的切线与直线y2x平行(其中e2.71828)，g(x)x2tx2. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)在n，n2(n0)上的最小值； (3)对一切x(0，e，3f(x)g(x)恒成立，求实数t的取值范围,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究, 探究点3 导数在方程与不等式中的应用,例4 2010广州模拟 已知函数f(x)x3ax2bxc在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点 (1)求b的值； (2)求f(2)的取值范围； (3)试探究直线yx1与函数yf(x)的图像交点个数的情况，并说明理由,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究, 探究点4 生活中的优化问题,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,第14讲 要点探究,点评 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后转化为导数模型求解,规律总结,第14讲 规律总结,1函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f(x)解决 2通过判断函数各区间内导数f(x)的符号，可判断函数f(x)在该区间上的单调性若f0(或f0)，则函数f在相应区间上是增加(或减少)的 3根据极值的定义，导数为0且在该点两侧导数的符号相反，则该点是函数的极值点利用导数求函数的极值时，通过导数为零的点将整个定义域分为若干个区间，然后将x，f(x)，f在每个区间内的变化情况列在一个表格中，通过表格可以清楚地判断在哪个点处取得极值，是极大值还是极小值，所以在解题中注意表格的正确列法,第14讲 规律总结,4根据最值的定义可知：函数的最值只可能在极值点取得，或者在区间的端点处取得因此，求函数在闭区间内的最值时，只需要比较导数为0的点的函数值与端点值的大小，其中最大的值即为函数的最大值，最小的值即为函数的最小值,第14讲 规律总结,5导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，并根据实际问题中的限制条件确定yf(x)的定义域；(2)求f(x)，令f(x)0，得出方程所有实数根；(3)比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其为最大值还是最小值；(4)检验结果的实际意义，给出答案,第14讲 规律总结,6利用导